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函数对称性公式大总结
总结就是把一个时段的学习、工作或其完成情况进行一次全面系统的总结，它可以给我们下一阶段的学习和工作生活做指导，让我们来为自己写一份总结吧。总结怎么写才不会流于形式呢？以下是小编为大家收集的函数对称性公式大总结，欢迎阅读与收藏。
函数对称性公式大总结1
（一）同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性）
1、奇偶性：
（1）奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式f（x）f（x）0
（2）偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式f（x）f（x）
2、奇偶性的拓展：同一函数的`对称性
（1）函数的轴对称：
函数yf（x）关于xa对称f（ax）f（ax）
f（ax）f（ax）也可以写成f（x）f（2ax）或f（x）f（2ax）
若写成：f（ax）f（bx），则函数yf（x）关于直线x称
（ax）（bx）ab对22证明：设点（x1,y1）在yf（x）上，通过f（x）f（2ax）可知，y1f（x1）f（2ax1），即点（2ax1,y1）也在yf（x）上，而点（x1,y1）与点（2ax1,y1）关于x=a对称。得证。
说明：关于xa对称要求横坐标之和为2a，纵坐标相等。
∵（ax1,y1）与（ax1,y1）关于xa对称，∴函数yf（x）关于xa对称
f（ax）f（ax）
∵（x1,y1）与（2ax1,y1）关于xa对称，∴函数yf（x）关于xa对称
f（x）f（2ax）
∵（x1,y1）与（2ax1,y1）关于xa对称，∴函数yf（x）关于xa对称
f（x）f（2ax）
（2）函数的点对称：
函数yf（x）关于点（a,b）对称f（ax）f（ax）2b
上述关系也可以写成f（2ax）f（x）2b或f（2ax）f（x）2b
若写成：f（ax）f（bx）c，函数yf（x）关于点（abc,）对称2证明：设点（x1,y1）在yf（x）上，即y1f（x1），通过f（2ax）f（x）2b可知，f（2ax1）f（x1）2b，所以f（2ax1）2bf（x1）2by1，所以点（2ax1,2by1）也在yf（x）上，而点（2ax1,2by1）与（x1,y1）关于（a,b）对称。得证。
说明：关于点（a,b）对称要求横坐标之和为2a,纵坐标之和为2b,如（ax）与（ax）之和为2a。
（3）函数yf（x）关于xxx对称：假设函数关于yb对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于yb对称。但在曲线c（x,y）=0，则有可能会出现关于yb对称，比如圆c（x,y）x2y240它会关于y=0对称。
（4）复合函数的奇偶性的性质定理：
性质1、复数函数y＝f[g（x）]为偶函数，则f[g（－x）]＝f[g（x）]。复合函数y＝f[g（x）]为奇函数，则f[g（－x）]＝－f[g（x）]。
性质2、复合函数y＝f（x＋a）为偶函数，则f（x＋a）＝f（－x＋a）；复合函数y＝f（x＋a）为奇函数，则f（－x＋a）＝－f（a＋x）。
性质3、复合函数y＝f（x＋a）为偶函数，则y＝f（x）关于直线x＝a轴对称。复合函数y＝f（x＋a）为奇函数，则y＝f（x）关于点（a,0）中心对称。
总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程
总结：x的系数一个为1，一个为-1，f（x）整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。
总结：x的系数同为为1，具有周期性。
（二）两个函数的图象对称性
1、yf（x）与yf（x）关于X轴对称。
证明：设yf（x）上任一点为（x1,y1）则y1f（x1），所以yf（x）经过点（x1,y1）
∵（x1,y1）与（x1,y1）关于X轴对称，∴y1f（x1）与yf（x）关于X轴对称.注：换种说法：yf（x）与yg（x）f（x）若满足f（x）g（x），即它们关于y0对称。
函数对称性公式大总结2
令a,b均不为零，若：
1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|
2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|
3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|
4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|
5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|
这里只对第2~5点进行解析。
第2点解析：
令X=x+a，f[a+（xa）]=f[b+（xa）]∴f（x）=f（x+ba）==>T=ba
第3点解析：同理，f（x+a）=-f（x+2a）……
①f（x）=-f（x+a）……
②∴由①和②解得f（x）=f（x+2a）∴函数最小正周期T=|2a|
第4点解析：
f（x+2a）=1/f（x+a）==>f（x+a）=1/f（x+2a）
又∵f（x+a）=1/f（x）∴f（x）=f（x+2a）
∴函数最小正周期T=|2a|
第5点解析：
∵f（x+a）={2[1f（x）]}/[1f（x）]=2/[1f（x）]1
∴1f（x）=2/[f（x）+1]移项得f（x）=12/[f（x+a）+1]
那么f（x-a）=12/[f（x）+1]，等式右边通分得f（x-a）=[f（x）1]/[1+f（x）]∴1/[f（x-a）=[1+f（x）]/[f（x）1]，即-1/[f（x-a）=[1+f（x）]/[1-f（x）]∴-1/[f（x-a）=f（x+a），-1/[f（x2a）=f（x）==>-1/f（x）=f（x-2a）①，又∵-1/f（x）=f（x+2a）②，由①②得f（x+2a）=f（x-2a）==>f（x）=f（x+4a）
∴函数最小正周期T=|4a|
函数对称性公式大总结3
设a＞0
color{green}{（1）}若f(x)为color{red}{偶函数}，且color{red}{f(a+x)=f(a-x)}（即关于直线x=a对称），则f(x)为周期函数，最小正周期为color{red}{T=2a} .
color{red}{证明：}
用x+a替换color{red}{f(a+x)=f(a-x)}得：color{red}{f(x+2a)=f(-x)}，又f(x)为color{red}{偶函数}，所以color{red}{f(-x)=f(x)}即color{red}{f(x+2a)=f(x)}，因此color{red}{T=2a} .
color{green}{（2）}若f(x)为color{red}{奇函数}，且color{red}{f(a+x)=f(a-x)}（即关于直线x=a对称），则f(x)为周期函数，最小正周期为color{red}{T=4a} .
color{red}{证明：}
用x+a替换color{red}{f(a+x)=f(a-x)}得：color{red}{f(x+2a)=f(-x)}，又f(x)为color{red}{奇函数}，所以color{red}{f(-x)=-f(x)}即color{red}{f(x+2a)=-f(x)}，再由color{green}{（2）}可知，color{red}{T=4a} .
color{green}{例题1：}
定义在R上的函数fleft( x ight)满足fleft( x ight) = left{ egin {array}{rcl} log_2(1-x), xleq0 f(x-1)-f(x-2), x>0end {array} ight.，则f(20xx)的`值为
color{red}{解：}
当x>0时，f(x)=f(x-1)-f(x-2)由color{green}{（9）}可知，color{red}{T=6}，所以f(20xx) f(336 imes6+5) =f(5)；
当xleq0时，f(-1)=1、f(0)=0，f(1)=f(0)-f(-1) =-1，f(2)=f(1)-f(0) =-1，f(3)=f(2)-f(1) =0，f(4)=f(3)-f(2) =1，f(5)=f(4)-f(3) =1 .
color{green}{注：}
此处不能直接利用周期性得出f(5)=f(-1)（虽然这里有点巧合，的确相等了），原因在于，当x>0时fleft( x ight)才存在周期性，例如f(4)就不等于f(-2) 。
color{green}{例题2：}
已知f(x)是定义域为(-∞, +∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x)．若f(1)=2，则f(1)+f(2)+f(3)++f(50)=
A．-50
B．0
C．2
D．50
color{red}{解：}
因为f(x)是R上的奇函数，所以
f(-1)=-f(1)=-2，f(0)=0，f(1)=2，因为f(1-x)=f(1+x)，所以f(x)关于直线x=1对称，所以
f(2)=f(0)=0 ,f(3)=f(-1)=-2 ,由color{green}{（2）}可知，color{red}{T=4}，所以
f(4)=f(0)=0 ,所以一个周期内f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0，因此f(1)+f(2)+f(3)++f(50) =f(1)+f(2)=2 .
函数对称性公式大总结4
color{green}{特殊：}
color{green}{（1）}满足条件color{red}{f(-x)＋f(x)=0}的函数y=f(x)的图象关于点color{red}{(0，0)}对称；
color{red}{证明：}由color{red}{f(-x)＋f(x)=0}可知f(x)为奇函数，故函数y=f(x)的图象关于原点对称，即关于点color{red}{(0，0)}color{red}{(0，0)}对称；
color{green}{（2）}满足条件color{red}{f(a-x)＋f(a＋x)=0}的函数y=f(x)的图象关于点color{red}{(a，0)}对称；
color{red}{证明：}设函数y=f(x)的图象上有两点A 、 B，坐标分别为left( color{purple}{ a-x,f(a-x)} ight) 、 left( color{purple}{ a+x,f(a+x)} ight) ，则由中点坐标公式可知：A 、 B两点的中点坐标为left( color{purple}{frac{(a-x)+(a+x)}{2}, frac{f(a-x)+f(a+x)}{2}} ight) 由条件color{red}{f(a-x)＋f(a＋x)=0}知，A 、 B两点的中点坐标为color{red}{(a，0)}，所以A 、 B两点关于点color{red}{(a，0)}对称，由于x的任意性，则函数y=f(x)的图象关于点color{red}{(a，0)}对称；
color{green}{（3）}满足条件color{red}{f(2a-x)＋f(x)=0}的函数y=f(x)的图象关于点color{red}{(a，0)}对称；
color{red}{证明：}
用a+x替换color{red}{f(2a-x)＋f(x)=0}中的x得：color{red}{f(a-x)＋f(a+x)=0}，则接下来同color{green}{（2）}.
color{green}{（4）}满足条件color{red}{f(a-x)＋f(b＋x)=0}的函数y=f(x)的图象关于点color{red}{(frac{a+b}{2},0)}对称；
color{red}{证明：}用frac{a-b}{2}+x替换color{red}{f(a-x)＋f(b＋x)=0}中的x得：color{red}{f(frac{a+b}{2}-x)+f(frac{a+b}{2}＋x)=0} ，则接下来同color{green}{（2）}.
color{green}{（5）}满足条件color{red}{f(a-x)＋f(a＋x)=2b}的函数y=f(x)的图象关于点color{red}{(a，b)}对称；
color{red}{证明：}设函数y=f(x)的图象上有两点A 、 B，坐标分别为left( color{purple}{ a-x,f(a-x)} ight) 、 left( color{purple}{ a+x,f(a+x)} ight) ，则由中点坐标公式可知：A 、 B两点的中点坐标为left( color{purple}{frac{(a-x)+(a+x)}{2}, frac{f(a-x)+f(a+x)}{2}} ight) 由条件color{red}{f(a-x)＋f(a＋x)=2b}知，A 、 B两点的中点坐标为color{red}{(a，b)}，所以A 、 B两点关于点color{red}{(a，b)}对称，由于x的'任意性，则函数y=f(x)的图象关于点color{red}{(a，b)}对称；
color{green}{（6）}满足条件color{red}{f(2a-x)＋f(x)=2b}的函数y=f(x)的图象关于点color{red}{(a，b)}对称；
color{red}{证明：}
用a+x替换color{red}{f(2a-x)＋f(x)=2b}中的x得：color{red}{f(a-x)＋f(a＋x)=2b}，则接下来同color{green}{（5）}.
color{green}{一般：}
color{green}{（7）}满足条件color{red}{f(a-x)＋f(b＋x)=c}的函数y=f(x)的图象关于点color{red}{(frac{a+b}{2},frac{c}{2})}对称；
color{red}{证明：} 用frac{a-b}{2}+x替换color{red}{f(a-x)＋f(b＋x)=c}中的x得：color{red}{f(frac{a+b}{2}-x)+f(frac{a+b}{2}＋x)=c} ，则接下来同color{green}{（5）}.
color{green}{注：}
函数图像自身中心对称，将题目中的等式化成形式：color{red}{f( )+f( )=c}（c为常数），两括号里的x一定是color{red}{系数相同}且color{red}{一正一负}的；对称中心为color{red}{(frac{两括号中的相加，消去x}{2},frac{c}{2})} .
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