函数知识点总结

时间：2024-06-09 16:38:20 工作总结我要投稿

函数知识点总结合集【15篇】

　　总结就是把一个时间段取得的成绩、存在的问题及得到的经验和教训进行一次全面系统的总结的书面材料，它能使我们及时找出错误并改正，让我们一起来学习写总结吧。那么你真的懂得怎么写总结吗？以下是小编为大家收集的函数知识点总结，希望能够帮助到大家。

函数知识点总结合集【15篇】

函数知识点总结1

　　一、函数对称性：

　　1.2.3.4.5.6.7.8.

　　f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称

　　f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称

　　f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称

　　例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。

　　【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。

　　证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）]

　　∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.

　　例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。

　　证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b]

　　∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.

　　二、函数的周期性

　　令a,b均不为零，若：

　　1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|

　　2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|

　　3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|

　　4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|

　　5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|

　　这里只对第2~5点进行解析。

　　第2点解析：

　　令X=x+a，f[a+（xa）]=f[b+（xa）]∴f（x）=f（x+ba）==>T=ba

　　第3点解析：同理，f（x+a）=-f（x+2a）……

　　①f（x）=-f（x+a）……

　　②∴由①和②解得f（x）=f（x+2a）∴函数最小正周期T=|2a|

　　第4点解析：

　　f（x+2a）=1/f（x+a）==>f（x+a）=1/f（x+2a）

　　又∵f（x+a）=1/f（x）∴f（x）=f（x+2a）

　　∴函数最小正周期T=|2a|

　　第5点解析：

　　∵f（x+a）={2[1f（x）]}/[1f（x）]=2/[1f（x）]1

　　∴1f（x）=2/[f（x）+1]移项得f（x）=12/[f（x+a）+1]

　　那么f（x-a）=12/[f（x）+1]，等式右边通分得f（x-a）=[f（x）1]/[1+f（x）]∴1/[f（x-a）=[1+f（x）]/[f（x）1]，即-1/[f（x-a）=[1+f（x）]/[1-f（x）]∴-1/[f（x-a）=f（x+a），-1/[f（x2a）=f（x）==>-1/f（x）=f（x-2a）①，又∵-1/f（x）=f（x+2a）②，

　　由①②得f（x+2a）=f（x-2a）==>f（x）=f（x+4a）

　　∴函数最小正周期T=|4a|

　　扩展阅读：函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结

　　函数对称性、周期性和奇偶性规律总结

　　（一）同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性）

　　1、奇偶性：

　　（1）奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式f（x）f（x）0

　　（2）偶函数关于y（即x=0）轴对称，偶函数有关系式f（x）f（x）

　　2、奇偶性的.拓展：同一函数的对称性

　　（1）函数的轴对称：

　　函数yf（x）关于xa对称f（ax）f（ax）

　　f（ax）f（ax）也可以写成f（x）f（2ax）或f（x）f（2ax）

　　若写成：f（ax）f（bx），则函数yf（x）关于直线x称

　　（ax）（bx）ab对22证明：设点（x1,y1）在yf（x）上，通过f（x）f（2ax）可知，y1f（x1）f（2ax1），

　　即点（2ax1,y1）也在yf（x）上，而点（x1,y1）与点（2ax1,y1）关于x=a对称。得证。

　　说明：关于xa对称要求横坐标之和为2a，纵坐标相等。

　　∵（ax1,y1）与（ax1,y1）关于xa对称，∴函数yf（x）关于xa对称

　　f（ax）f（ax）

　　∵（x1,y1）与（2ax1,y1）关于xa对称，∴函数yf（x）关于xa对称

　　f（x）f（2ax）

　　∵（x1,y1）与（2ax1,y1）关于xa对称，∴函数yf（x）关于xa对称

　　f（x）f（2ax）

　　（2）函数的点对称：

　　函数yf（x）关于点（a,b）对称f（ax）f（ax）2b

　　上述关系也可以写成f（2ax）f（x）2b或f（2ax）f（x）2b

　　若写成：f（ax）f（bx）c，函数yf（x）关于点（abc,）对称2证明：设点（x1,y1）在yf（x）上，即y1f（x1），通过f（2ax）f（x）2b可知，f（2ax1）f（x1）2b，所以f（2ax1）2bf（x1）2by1，所以点（2ax1,2by1）也在yf（x）上，而点（2ax1,2by1）与（x1,y1）关于（a,b）对称。得证。

　　说明：关于点（a,b）对称要求横坐标之和为2a,纵坐标之和为2b,如（ax）与（ax）之和为2a。

　　（3）函数yf（x）关于点yb对称：假设函数关于yb对称，即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于yb对称。但在曲线c（x,y）=0，则有可能会出现关于yb对称，比如圆c（x,y）x2y240它会关于y=0对称。

　　（4）复合函数的奇偶性的性质定理：

　　性质1、复数函数y＝f[g（x）]为偶函数，则f[g（－x）]＝f[g（x）]。复合函数y＝f[g（x）]为奇函数，则f[g（－x）]＝－f[g（x）]。

　　性质2、复合函数y＝f（x＋a）为偶函数，则f（x＋a）＝f（－x＋a）；复合函数y＝f（x＋a）为奇函数，则f（－x＋a）＝－f（a＋x）。

　　性质3、复合函数y＝f（x＋a）为偶函数，则y＝f（x）关于直线x＝a轴对称。复合函数y＝f（x＋a）为奇函数，则y＝f（x）关于点（a,0）中心对称。

　　总结：x的系数一个为1，一个为-1，相加除以2，可得对称轴方程

　　总结：x的系数一个为1，一个为-1，f（x）整理成两边，其中一个的系数是为1，另一个为-1，存在对称中心。

　　总结：x的系数同为为1，具有周期性。

　　（二）两个函数的图象对称性

　　1、yf（x）与yf（x）关于X轴对称。

　　证明：设yf（x）上任一点为（x1,y1）则y1f（x1），所以yf（x）经过点（x1,y1）

　　∵（x1,y1）与（x1,y1）关于X轴对称，∴y1f（x1）与yf（x）关于X轴对称.注：换种说法：yf（x）与yg（x）f（x）若满足f（x）g（x），即它们关于y0对称。

函数知识点总结2

　　1、变量与常量

　　在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。

　　一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

　　2、函数解析式

　　用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。

　　使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。

　　3、函数的三种表示法及其优缺点

　　(1)解析法

　　两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。

　　(2)列表法

　　把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

　　(3)图像法

　　用图像表示函数关系的方法叫做图像法。

　　4、由函数解析式画其图像的一般步骤

　　(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

　　(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

　　(3)连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

　　初中怎样学好数学

　　学好初中数学培养运算能力

　　初中数学涉及到大量的运算内容，比如有理数的运算、因式分解、根式的运算和解方程，这些都是初中数学涉及到的知识内容，如果初中生数学运算能力不过关，那么成绩怎么能提高呢?所以运算是学好初中数学的基本功，这个基本功一定要扎实，不然以后的初中数学就可以不用学习了。

　　初中生在解答运算题的时候，不要急躁，静下心来。初中数学运算的过程是很重要的，这也是初中生对于数学逻辑和思维的培养过程，结果要准确;同时初中生还有要绝对的自信，不要求速度可以慢一点的，尽量一次做对。

　　学好初中数学做题的数量不能少

　　不可否认，想要学好初中数学，就要做一定量的数学题。不赞同大量的刷题，那样没有什么意义。初中生做数学题主要是以基础题的练习为主，将初中数学的基础题弄懂的同时，反复的做一些比较典型的题，这样才是初中生正确的学习数学方式。

　　在初中阶段，学生要锻炼自己数学的抽象思维能力，最好的结果是在不用书写的情况下，就能够得到正确的答案，这也就是我们常说的熟能生巧。同时也是初中生数学基础知识牢固的体现。相反的`，有的初中生在做练习题的时候，比较盲目和急躁，这样的结果就是粗心大意，马虎出错。

　　课上重视听讲课下及时复习

　　初中生数学能力的培养一部分在于平时做题的过程中，另一部分就在课堂上。所以初中生想要学好数学，就要重视课内的学习效率，在课上的时候要跟紧老师的思路，大胆的推测老师下一步讲课的知识，尤其是基础知识的学习。在课后初中生还要对学习的数学知识点及时复习。对于每个阶段初中数学的学习要进行知识点归纳和整理。

　　初中数学多项式知识点

　　1、几个单项式的和叫做多项式。

　　2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。

　　3、多项式中不含字母的项叫做常数项。

　　4、一个多项式有几项，就叫做几项式。

　　5、多项式的每一项都包括项前面的符号。

　　6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。

　　7、多项式中次数的项的次数，叫做这个多项式的次数。

函数知识点总结3

　　二次函数概念

　　一般地，把形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0)的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。

　　注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。

　　二次函数公式大全

　　二次函数

　　I.定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

　　则称y为x的`二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　II.二次函数的三种表达式

　　一般式：y=ax2;+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

　　顶点式：y=a(x-h)2;+k [抛物线的顶点P(h，k)]

　　交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线]

　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

　　h=-b/2a k=(4ac-b2;)/4a x1,x2=(-b±√b2;-4ac)/2a

　　III.二次函数的图象

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x??的图象，

　　可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。

　　IV.抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

　　x = -b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为

　　P [ -b/2a ，(4ac-b2;)/4a ]。

　　当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;

　　当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于(0，c)

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　Δ= b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　Δ= b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。

　　V.二次函数与一元二次方程

　　特别地，二次函数(以下称函数)y=ax2;+bx+c，

　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，

　　即ax2;+bx+c=0

　　此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。

　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

函数知识点总结4

　　（一）函数

　　1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

　　2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。一个X对应两个Y值是错误的x判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应；

　　3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

　　4、确定函数定义域的方法：

　　（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；

　　（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

　　（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；

　　（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；

　　（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。

　　5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的.代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式

　　6、函数的图像(函数图像上的点一定符合函数表达式,符合函数表达式的点一定在函数图像上)

　　一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象；

　　运用：求解析式中的参数、求函数解释式；

　　7、描点法画函数图形的一般步骤

　　第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；函数表达式为y=3X-2-1-20xx-6-3-6036

　　第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；

　　第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

　　8、函数的表示方法

　　列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

　　解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

　　图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

　　（二）一次函数1、一次函数的定义

　　一般地，形如ykxb（k，b是常数（其中k与b的形式较为灵活，但只要抓住函数基本形式，准确找到k与b,根据题意求的常数的取值范围），且k0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当b0时，一次函数ykx，又叫做正比例函数。

　　⑴一次函数的解析式的形式是ykxb，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式；

　　⑵当b0，k0时，ykx仍是一次函数；

　　⑶当b0，k0时，它不是一次函数；

　　⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数；

　　2、正比例函数及性质

　　一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取零

　　当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k0时，图像经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；k0时，向上平移；当b0，y随x的增大而增大（）；k4、一次函数y=kx＋b的图象的画法.

　　在实际做题中只需要俩点就可以确定函数图像,一般我们令X=0求出阿Y的值再令Y=0求出X的值.如图

　　y=kx+b(0,b)解析：（两点确定一条直线，这两点我们一般确定在坐标轴上，因为X轴上所有坐标点的纵坐标为0即（x,0）Y轴上所有点的

　　(-b/k,0)横坐标为0即（0，y）这样作图既快又准确

　　5、正比例函数与一次函数之间的关系

　　一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b0时，直线经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；（从左向右上升）k0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；b。

函数知识点总结5

　　一、函数的概念与表示

　　1、映射

　　(1)映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。

　　注意点：(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射

　　2、函数

　　构成函数概念的三要素

　　①定义域②对应法则③值域

　　两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

　　二、函数的解析式与定义域

　　1、求函数定义域的主要依据：

　　(1)分式的'分母不为零;

　　(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义;

　　(3)对数函数的真数必须大于零;

　　(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

　　三、函数的值域

　　1求函数值域的方法

　　①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数;

　　②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;

　　③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;适合分母为二次且∈R的分式;

　　④分离常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);

　　⑤单调性法：利用函数的单调性求值域;

　　⑥图象法：二次函数必画草图求其值域;

　　⑦利用对号函数

　　⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数

　　四.函数的奇偶性

　　1.定义:设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。

　　如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇

　　函数。

　　2.性质：

　　①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,

　　②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0

　　③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]

　　3.奇偶性的判断

　　①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系

　　五、函数的单调性

　　1、函数单调性的定义：

　　2设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数;若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。

函数知识点总结6

　　1、定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c

　　(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　2、二次函数的三种表达式

　　一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

　　顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点p(h，k)]

　　交点式：y=a(x-x)(x-x ) [仅限于与x轴有交点a(x，0)和b(x，0)的抛物线]

　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

　　h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a

　　3、二次函数的图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

　　4、抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点p。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)

　　2.抛物线有一个顶点p，坐标为：p ( -b/2a，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，p在y轴上;当δ= b^2-4ac=0时，p在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口;当a

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;

　　当a与b异号时(即ab

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于(0，c)

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　δ= b^2-4ac

　　5、二次函数与一元二次方程

　　特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，

　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0

　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

　　1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴：

　　当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

　　当h

　　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;

　　当h>0,k

　　当h0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;

　　当h

　　因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的`形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

　　2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a

　　3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大.若a

　　4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);

　　(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点a(x，0)和b(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

　　(a≠0)的两根.这两点间的距离ab=|x-x|

　　当△=0.图象与x轴只有一个交点;

　　当△0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a

　　5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值

　　6.用待定系数法求二次函数的解析式

　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

　　y=ax^2+bx+c(a≠0).

　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).

　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0).

　　7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现.

函数知识点总结7

　　（一）、映射、函数、反函数

　　1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射。

　　2、对于函数的概念，应注意如下几点：

　　（1）掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数。

　　（2）掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式。

　　（3）如果y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做f和g的复合函数，其中g（x）为内函数，f（u）为外函数。

　　3、求函数y=f（x）的反函数的一般步骤：

　　（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域;

　　（2）由y=f（x）的解析式求出x=f—1（y）;

　　（3）将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f—1（x），并注明定义域。

　　注意：

　　①对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起。

　　②熟悉的应用，求f—1（x0）的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算。

　　（二）、函数的解析式与定义域

　　1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域。求函数的定义域一般有三种类型：

　　（1）有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑;

　　（2）已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可。如：

　　①分式的分母不得为零;

　　②偶次方根的被开方数不小于零;

　　③对数函数的真数必须大于零;

　　④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;

　　⑤三角函数中的正切函数y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函数y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。

　　应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分（即交集）。

　　（3）已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可。

　　已知f（x）的定义域是[a，b]，求f[g（x）]的定义域是指满足a≤g（x）≤b的x的取值范围，而已知f[g（x）]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f（x）的定义域，即g（x）的值域。

　　2、求函数的解析式一般有四种情况

　　（1）根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式。

　　（2）有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法。比如函数是一次函数，可设f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可。

　　（3）若题设给出复合函数f[g（x）]的表达式时，可用换元法求函数f（x）的表达式，这时必须求出g（x）的值域，这相当于求函数的定义域。

　　（4）若已知f（x）满足某个等式，这个等式除f（x）是未知量外，还出现其他未知量（如f（—x），等），必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f（x）的表达式。

　　（三）、函数的值域与最值

　　1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

　　（1）直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域。

　　（2）换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元。

　　（3）反函数法：利用函数f（x）与其反函数f—1（x）的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如（a≠0）的函数值域可采用此法求得。

　　（4）配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法。

　　（5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧。

　　（6）判别式法：把y=f（x）变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域。其题型特征是解析式中含有根式或分式。

　　（7）利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上（或某个定义域的子集上）的单调性，可采用单调性法求出函数的值域。

　　（8）数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域。

　　2、求函数的最值与值域的区别和联系

　　求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值。因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异。

　　如函数的值域是（0，16]，最大值是16，无最小值。再如函数的值域是（—∞，—2]∪[2，+∞），但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2。可见定义域对函数的值域或最值的影响。

　　3、函数的最值在实际问题中的应用

　　函数的.最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值。

　　（四）、函数的奇偶性

　　1、函数的奇偶性的定义：对于函数f（x），如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（—x）=—f（x）（或f（—x）=f（x）），那么函数f（x）就叫做奇函数（或偶函数）。

　　正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f（x）为奇函数或偶函数的必要不充分条件;（2）f（x）=—f（x）或f（—x）=f（x）是定义域上的恒等式。（奇偶性是函数定义域上的整体性质）。

　　2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：

　　注意如下结论的运用：

　　（1）不论f（x）是奇函数还是偶函数，f（|x|）总是偶函数;

　　（2）f（x）、g（x）分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1∩D2上，f（x）+g（x）是奇函数，f（x）·g（x）是偶函数，类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”;

　　（3）奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数;

　　（4）奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

　　3、有关奇偶性的几个性质及结论

　　（1）一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称。

　　（2）如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数。

　　（3）若奇函数f（x）在x=0处有意义，则f（0）=0成立。

　　（4）若f（x）是具有奇偶性的区间单调函数，则奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性是相同（反）的。

　　（5）若f（x）的定义域关于原点对称，则F（x）=f（x）+f（—x）是偶函数，G（x）=f（x）—f（—x）是奇函数。

　　（6）奇偶性的推广

　　函数y=f（x）对定义域内的任一x都有f（a+x）=f（a—x），则y=f（x）的图象关于直线x=a对称，即y=f（a+x）为偶函数。函数y=f（x）对定义域内的任—x都有f（a+x）=—f（a—x），则y=f（x）的图象关于点（a，0）成中心对称图形，即y=f（a+x）为奇函数。

　　（五）、函数的单调性

　　1、单调函数

　　对于函数f（x）定义在某区间[a，b]上任意两点x1，x2，当x1>x2时，都有不等式f（x1）>（或<）f（x2）成立，称f（x）在[a，b]上单调递增（或递减）;增函数或减函数统称为单调函数。

　　对于函数单调性的定义的理解，要注意以下三点：

　　（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念。一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性。

　　（2）单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替。

　　（3）单调区间是定义域的子集，讨论单调性必须在定义域范围内。

　　（4）注意定义的两种等价形式：

　　设x1、x2∈[a，b]，那么：

　　①在[a、b]上是增函数;

　　在[a、b]上是减函数。

　　②在[a、b]上是增函数。

　　在[a、b]上是减函数。

　　需要指出的是：①的几何意义是：增（减）函数图象上任意两点（x1，f（x1））、（x2，f（x2））连线的斜率都大于（或小于）零。

　　（5）由于定义都是充要性命题，因此由f（x）是增（减）函数，且（或x1>x2），这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”。

　　5、复合函数y=f[g（x）]的单调性

　　若u=g（x）在区间[a，b]上的单调性，与y=f（u）在[g（a），g（b）]（或g（b），g（a））上的单调性相同，则复合函数y=f[g（x）]在[a，b]上单调递增;否则，单调递减。简称“同增、异减”。

　　在研究函数的单调性时，常需要先将函数化简，转化为讨论一些熟知函数的单调性。因此，掌握并熟记一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，将大大缩短我们的判断过程。

　　6、证明函数的单调性的方法

　　（1）依定义进行证明。其步骤为：

　　①任取x1、x2∈M且x1（或<）f（x2）;

　　②根据定义，得出结论。

　　（2）设函数y=f（x）在某区间内可导。

　　如果f′（x）>0，则f（x）为增函数;如果f′（x）<0，则f（x）为减函数。

　　（六）、函数的图象

　　函数的图象是函数的直观体现，应加强对作图、识图、用图能力的培养，培养用数形结合的思想方法解决问题的意识。

　　求作图象的函数表达式

　　与f（x）的关系

　　由f（x）的图象需经过的变换

　　y=f（x）±b（b>0）

　　沿y轴向平移b个单位

　　y=f（x±a）（a>0）

　　沿x轴向平移a个单位

　　y=—f（x）

　　作关于x轴的对称图形

　　y=f（|x|）

　　右不动、左右关于y轴对称

　　y=|f（x）|

　　上不动、下沿x轴翻折

　　y=f—1（x）

　　作关于直线y=x的对称图形

　　y=f（ax）（a>0）

　　横坐标缩短到原来的，纵坐标不变

　　y=af（x）

　　纵坐标伸长到原来的|a|倍，横坐标不变

　　y=f（—x）

　　作关于y轴对称的图形

　　【例】定义在实数集上的函数f（x），对任意x，y∈R，有f（x+y）+f（x—y）=2f（x）·f（y），且f（0）≠0。

　　①求证：f（0）=1;

　　②求证：y=f（x）是偶函数;

　　③若存在常数c，使求证对任意x∈R，有f（x+c）=—f（x）成立;试问函数f（x）是不是周期函数，如果是，找出它的一个周期;如果不是，请说明理由。

　　思路分析：我们把没有给出解析式的函数称之为抽象函数，解决这类问题一般采用赋值法。

　　解答：①令x=y=0，则有2f（0）=2f2（0），因为f（0）≠0，所以f（0）=1。

　　②令x=0，则有f（x）+f（—y）=2f（0）·f（y）=2f（y），所以f（—y）=f（y），这说明f（x）为偶函数。

　　③分别用（c>0）替换x、y，有f（x+c）+f（x）=

　　所以，所以f（x+c）=—f（x）。

　　两边应用中的结论，得f（x+2c）=—f（x+c）=—[—f（x）]=f（x），所以f（x）是周期函数，2c就是它的一个周期。

函数知识点总结8

　　当h>0时，y=a(_-h)^2的图象可由抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位得到，

　　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.

　　当h>0,k>0时，将抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(_-h)^2+k的图象;

　　当h>0,k<0时，将抛物线y=a_^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;

　　当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;

　　当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(_-h)^2+k的图象;

　　因此，研究抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(_-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.

　　2.抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线_=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).

　　3.抛物线y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>0，当_≤-b/2a时，y随_的增大而减小;当_≥-b/2a时，y随_的增大而增大.若a<0，当_≤-b/2a时，y随_的增大而增大;当_≥-b/2a时，y随_的增大而减小.

　　4.抛物线y=a_^2+b_+c的图象与坐标轴的交点：

　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);

　　(2)当△=b^2-4ac>0，图象与_轴交于两点A(_?，0)和B(_?，0)，其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0

　　(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|_?-_?|

　　当△=0.图象与_轴只有一个交点;

　　当△<0.图象与_轴没有交点.当a>0时，图象落在_轴的上方，_为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在_轴的下方，_为任何实数时，都有y<0.

　　5.抛物线y=a_^2+b_+c的最值：如果a>0(a<0)，则当_=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的.取值.

　　6.用待定系数法求二次函数的解析式

　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知_、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

　　y=a_^2+b_+c(a≠0).

　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(_-h)^2+k(a≠0).

　　(3)当题给条件为已知图象与_轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0).

函数知识点总结9

　　本节知识包括函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性和函数的图象等知识点。函数的单调性、函数的奇偶性、函数的周期性、函数的最值、函数的对称性是学习函数的图象的基础，函数的图象是它们的综合。所以理解了前面的几个知识点，函数的图象就迎刃而解了。

　　一、函数的单调性

　　1、函数单调性的定义

　　2、函数单调性的判断和证明：

　　(1)定义法

　　(2)复合函数分析法

　　(3)导数证明法

　　(4)图象法

　　二、函数的奇偶性和周期性

　　1、函数的奇偶性和周期性的定义

　　2、函数的奇偶性的判定和证明方法

　　3、函数的周期性的判定方法

　　三、函数的图象

　　1、函数图象的作法

　　(1)描点法

　　(2)图象变换法

　　2、图象变换包括图象：平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换。

　　常见考法

　　本节是段考和高考必不可少的考查内容，是段考和高考考查的重点和难点。选择题、填空题和解答题都有，并且题目难度较大。在解答题中，它可以和高中数学的.每一章联合考查，多属于拔高题。多考查函数的单调性、最值和图象等。

　　误区提醒

　　1、求函数的单调区间，必须先求函数的定义域，即遵循“函数问题定义域优先的原则”。

　　2、单调区间必须用区间来表示，不能用集合或不等式，单调区间一般写成开区间，不必考虑端点问题。

　　3、在多个单调区间之间不能用“或”和“ ”连接，只能用逗号隔开。

　　4、判断函数的奇偶性，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数。

　　5、作函数的图象，一般是首先化简解析式，然后确定用描点法或图象变换法作函数的图象。

函数知识点总结10

　　一次函数的定义

　　一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量。当b=0时，一次函数y=kx，又叫做正比例函数。

　　1、一次函数的解析式的形式是y=kx+b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式。

　　2、当b=0，k≠0时，y=kx仍是一次函数。

　　3、当k=0，b≠0时，它不是一次函数。

　　4、正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数。

　　一次函数的图像及性质

　　1、在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。

　　2、一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b），与x轴总是交于（—b/k，0）。

　　3、正比例函数的图像总是过原点。

　　4、k，b与函数图像所在象限的关系：

　　当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。

　　当k>0，b>0时，直线通过一、二、三象限；

　　当k>0，b<0时，直线通过一、三、四象限；

　　当k<0，b>0时，直线通过一、二、四象限；

　　当k<0，b<0时，直线通过二、三、四象限；

　　当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

　　这时，当k>0时，直线只通过一、三象限；当k<0时，直线只通过二、四象限。

　　一次函数的图象与性质的口诀

　　一次函数是直线，图象经过三象限；

　　正比例函数更简单，经过原点一直线；

　　两个系数k与b，作用之大莫小看，

　　k是斜率定夹角，b与y轴来相见，

　　k为正来右上斜，x增减y增减；

　　k为负来左下展，变化规律正相反；

　　k的绝对值越大，线离横轴就越远。

　　拓展阅读：一次函数的解题方法

　　理解一次函数和其它知识的联系

　　一次函数和代数式以及方程有着密不可分的联系。如一次函数和正比例函数仍然是函数，同时，等号的两边又都是代数式。需要注意的是，与一般代数式有很大区别。首先，一次函数和正比例函数都只能存在两个变量，而代数式可以是多个变量；其次，一次函数中的变量指数只能是1，而代数式中变量指数还可以是1以外的'数。另外，一次函数解析式也可以理解为二元一次方程。

　　掌握一次函数的解析式的特征

　　一次函数解析式的结构特征：kx+b是关于x的一次二项式，其中常数b可以是任意实数，一次项系数k必须是非零数，k≠0，因为当k = 0时，y = b（b是常数），由于没有一次项，这样的函数不是一次函数；而当b = 0，k≠0，y = kx既是正比例函数，也是一次函数。

　　应用一次函数解决实际问题

　　1、分清哪些是已知量，哪些是未知量，尤其要弄清哪两种量是相关联的量，且其中一种量因另一种量的变化而变化；

　　2、找出具有相关联的两种量的等量关系之后，明确哪种量是另一种量的函数；

　　3、在实际问题中，一般存在着三种量，如距离、时间、速度等等，在这三种量中，当且仅当其中一种量时间（或速度）不变时，距离与速度（或时间）才成正比例，也就是说，距离（s）是时间（t）或速度（）的正比例函数；

　　4、求一次函数与正比例函数的关系式，一般采取待定系数法。

　　数形结合

　　方程，不等式，不等式组，方程组我们都可以用一次函数的观点来理解。一元一次不等式实际上就看两条直线上下方的关系，求出端点后可以很容易把握解集，至于一元一次方程可以把左右两边看为两条直线来认识，直线交点的横坐标就是方程的解，至于二元一次方程组就是对应2条直线，方程组的解就是直线的交点，结合图形可以认识两直线的位置关系也可以把握交点个数。

　　如果一个交点时候两条直线的k不同，如果无穷个交点就是k，b都一样，如果平行无交点就是k相同，b不一样。至于函数平移的问题可以化归为对应点平移。k反正不变然后用待定系数法得到平移后的方程。这就是化一般为特殊的解题方法。

函数知识点总结11

　　高一数学第三章函数的应用知识点总结

　　一、方程的根与函数的零点

　　1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

　　2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数

　　yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。

　　即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

　　3、函数零点的求法：

　　1（代数法）求方程f(x)0的实数根；○

　　2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象○

　　联系起来，并利用函数的性质找出零点．

　　零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间〔a,b〕上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。先判定函数单调性，然后证明是否有f（a）f(b)第三章函数的应用习题

　　一、选择题

　　1.下列函数有2个零点的是（）

　　222y3x10y4x5x10yx3x5y4x4x1A、B、C、D、22.用二分法计算3x3x80在x(1,2)内的根的过程中得：f(1)0，f(1.5)0，

　　f(1.25)0，则方程的根落在区间（）

　　A、(1,1.5)B、(1.5,2)C、(1,1.25)D、(1.25,1.5)

　　3.若方程axxa0有两个解，则实数a的取值范围是A、(1,)B、(0,1)C、(0,)D、

　　4.函数f(x)=lnx-2x的零点所在的大致区间是()A.(1,2)B.2,eC.e,3D.e,

　　5.已知方程x3x10仅有一个正零点，则此零点所在的区间是()

　　A．(3,4)B．(2,3)C．(1,2)D．(0,1)

　　6．函数f(x)lnx2x6的零点落在区间()A．（2，2.25）B．（2.25，2.5）C．（2.5，2.75）D．（2.75，3）

　　7.已知函数

　　fx的图象是不间断的，并有如下的对应值表：x1234567fx8735548那么函数在区间（1，6）上的零点至少有（）个A．5B．4C．3D．28．方程2x1x5的解所在的区间是Ａ（０，１）Ｂ（１，２）Ｃ（２，３）Ｄ（３，４）

　　9.方程4x35x60的根所在的区间为A、(3,2)B、(2,1)C、(1,0)D、(0,1)

　　10．已知f(x)2x22x，则在下列区间中，f(x)0有实数解的是（）

　　）

　　（）

　　（(A)（-3，-2）(B)（-1，0）(C)（2，3）(D)（4，5）11．根据表格中的数据，可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为（）

　　xexx+2-10.37101212.72327.394320.095A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)12、方程

　　x12x根的个数为（）

　　A、0B、1C、2D、3二、填空题

　　13.下列函数：1)y=lgx；2)y2;3)y=x2;4)y=|x|－1;其中有2个零点的函数的序号是。

　　x214.若方程3x2的实根在区间m,n内，且m,nZ,nm1，

　　x则mn.

　　222f(x)(x1)(x2)(x2x3)的零点是15、函数（必须写全所有的零点）。

　　扩展阅读：高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结

　　第三章函数的应用

　　一、方程的根与函数的零点

　　1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

　　2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数

　　yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。

　　即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

　　3、函数零点的求法：

　　1（代数法）求方程f(x)0的实数根；○

　　2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，○

　　并利用函数的性质找出零点．

　　4、基本初等函数的零点：

　　①正比例函数ykx(k0)仅有一个零点。

　　k(k0)没有零点。x③一次函数ykxb(k0)仅有一个零点。

　　②反比例函数y④二次函数yax2bxc(a0)．

　　（1）△＞０，方程ax2bxc0(a0)有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

　　（2）△＝０，方程ax2bxc0(a0)有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

　　（3）△＜０，方程ax2bxc0(a0)无实根，二次函数的`图象与x轴无交点，二次函数无零点．

　　⑤指数函数ya(a0,且a1)没有零点。⑥对数函数ylogax(a0,且a1)仅有一个零点1.

　　⑦幂函数yx，当n0时，仅有一个零点0，当n0时，没有零点。

　　5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把fx转化成，这另fx0，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数y1,y2（基本初等函数）个函数图像的交点个数就是函数fx零点的个数。

　　6、选择题判断区间a,b上是否含有零点，只需满足fafb0。Eg：试判断方程xx2x10在区间[0,2]内是否有实数解？并说明理由。

　　42x7、确定零点在某区间a,b个数是唯一的条件是:①fx在区间上连续，且fafb0②在区间a,b上单调。Eg：求函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数。

　　8、函数零点的性质：

　　从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数；

　　从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；

　　若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．

　　Eg：一元二次方程根的分布讨论

　　一元二次方程根的分布的基本类型

　　2axbxc0（a0）的两实根为x1，x2，且x1x2.设一元二次方程

　　k为常数，则一元二次方程根的k分布（即x1，x2相对于k的位置）或根在区间上的

　　分布主要有以下基本类型：

　　表一：（两根与0的大小比较）

　　分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，一个大于0x10,x20x10,x20x10x2a0）大致图象（得出的结论0b02af000b02af00f00

　　大致图象（a0）得出的结论0b02af000b02aaf000b02af000b02aaf00f00（不综讨合论结a论）

　　af00表二：（两根与k的大小比较）

　　分布情况两根都小于k即两根都大于k即一个根小于k，一个大于k即x1k,x2kx1k,x2kx1kx2a0）大致图象（kkk得出的结论0bk2afk00bk2afk0fk0大致图象（a0）得出的结论0bk2afk00bk2aafk00bk2afk00bk2aafk0fk0（不综讨合论结a论）a0）afk0分布情况大致图象（得出的结论表三：（根在区间上的分布）

　　两根都在m,n内两根有且仅有一根在m,n一根在m,n内，另一根在p,q内（有两种情况，只画了一种）内，mnpq0fm0fn0bmn2afmfn0fm0fn0fmfn0fp0fq0fpfq0或

　　大致图象（a0）得出的结论0fm0fn0bmn2a综合结论fmfn0fm0fn0fmfn0fp0fq0fpfq0或fmfn0fpfq0（a不）讨论

　　fmfn0Eg：（1）关于x的方程x22(m3)x2m140有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m的取值范围？

　　（2）关于x的方程x2(m3)x2m140有两实根在[0,4]内，求m的取值范围？

　　2（3）关于x的方程mx2(m3)x2m140有两个实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围？

　　9、二分法的定义

　　对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)f(b)0的函数

　　yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，

　　使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

　　10、给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：（1）确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)0，给定精度；（2）求区间(a，b)的中点x1；（3）计算f(x1)：

　　①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；

　　②若f(a)f(x1)14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型：f(x)kxb(k0);二次函数模型：g(x)ax2bxc(a0);幂函数模型：h(x)axb(a0);

　　指数函数模型：l(x)abxc（a0,b＞0，b1）

　　利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型

函数知识点总结12

　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax+bx+c。

　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax+bx+c=0。

　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

　　1.二次函数y=ax，y=a(x-h)，y=a(x-h)+k，y=ax+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同。当h>0时，y=a(x-h)的图象可由抛物线y=ax向右平行移动h个单位得到。

　　当h<0时，则向xxx移动|h|个单位得到。

　　当h>0，k>0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)+k的图象。

　　当h>0，k<0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。

　　当h<0，k>0时，将抛物线向xxx移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。

　　当h<0,k<0时，将抛物线向xxx移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。

　　因此，研究抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)+k的'形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便。

　　2.抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b]/4a)。

　　3.抛物线y=ax+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小。

　　4.抛物线y=ax+bx+c的图象与坐标轴的交点：

　　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)。

　　(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x-x|。

　　当△=0．图象与x轴只有一个交点；当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。

　　5.抛物线y=ax+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b)/4a。

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。

　　6.用待定系数法求二次函数的解析式

　　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax+bx+c(a≠0)。

　　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)+k(a≠0)。

　　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a≠0)。

函数知识点总结13

　　一次函数的图象与性质的口诀：

　　一次函数是直线，图象经过三象限;

　　正比例函数更简单，经过原点一直线;

　　两个系数k与b，作用之大莫小看，k是斜率定夹角，b与y轴来相见，k为正来右上斜，x增减y增减;

　　k为负来左下展，变化规律正相反;

　　k的绝对值越大，线离横轴就越远。

　　拓展阅读：一次函数的解题方法

　　理解一次函数和其它知识的联系

　　一次函数和代数式以及方程有着密不可分的联系。如一次函数和正比例函数仍然是函数，同时，等号的两边又都是代数式。需要注意的是，与一般代数式有很大区别。首先，一次函数和正比例函数都只能存在两个变量，而代数式可以是多个变量;其次，一次函数中的变量指数只能是1，而代数式中变量指数还可以是1以外的数。另外，一次函数解析式也可以理解为二元一次方程。

　　掌握一次函数的解析式的特征

　　一次函数解析式的结构特征：kx+b是关于x的一次二项式，其中常数b可以是任意实数，一次项系数k必须是非零数，k≠0，因为当k = 0时，y = b(b是常数)，由于没有一次项，这样的函数不是一次函数;而当b = 0，k≠0，y = kx既是正比例函数，也是一次函数。

　　应用一次函数解决实际问题

　　1、分清哪些是已知量，哪些是未知量，尤其要弄清哪两种量是相关联的量，且其中一种量因另一种量的变化而变化;

　　2、找出具有相关联的两种量的等量关系之后，明确哪种量是另一种量的函数;

　　3、在实际问题中，一般存在着三种量，如距离、时间、速度等等，在这三种量中，当且仅当其中一种量时间(或速度)不变时，距离与速度(或时间)才成正比例，也就是说，距离(s)是时间(t)或速度( )的正比例函数;

　　4、求一次函数与正比例函数的关系式，一般采取待定系数法。

　　数形结合

　　数学解题方法分别有哪些

　　1、配方法

　　所谓的公式是使用变换解析方程的同构方法，并将其中的一些分配给一个或多个多项式正整数幂的和形式。通过配方解决数学问题的公式。其中，用的最多的是配成完全平方式。匹配方法是数学中不断变形的重要方法，其应用非常广泛，在分解，简化根，它通常用于求解方程，证明方程和不等式，找到函数的极值和解析表达式。

　　2、因式分解法

　　因式分解是将多项式转换为几个积分产品的乘积。分解是恒定变形的基础。除了引入中学教科书中介绍的公因子法，公式法，群体分解法，交叉乘法法等外，还有很多方法可以进行因式分解。还有一些项目，如拆除物品的使用，根分解，替换，未确定的系数等等。

　　3、换元法

　　替代方法是数学中一个非常重要和广泛使用的解决问题的方法。我们通常称未知或变元。用新的参数替换原始公式的一部分或重新构建原始公式可以更简单，更容易解决。

　　4、判别式法与韦达定理

　　一元二次方程 ax2+ bx+ c=0( a、 b、 c属于 R， a≠0)根的判别， = b2-4 ac，不仅用来确定根的性质，还作为一个问题解决方法，代数变形，求解方程(组)，求解不等式，研究函数，甚至几何以及三角函数都有非常广泛的应用。

　　韦达定理除了知道二次方程的根外，还找到另一根;考虑到两个数的和和乘积的简单应用并寻找这两个数，也可以找到根的对称函数并量化二次方程根的符号。求解对称方程并解决一些与二次曲线有关的问题等，具有非常广泛的应用。

　　5、待定系数法

　　在解决数学问题时，如果我们首先判断我们所寻找的结果具有一定的形式，其中包含某些未决的系数，然后根据问题的条件列出未确定系数的方程，最后找到未确定系数的值或这些待定系数之间的关系。为了解决数学问题，这种问题解决方法被称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

　　6、构造法

　　在解决问题时，我们通常通过分析条件和结论来使用这些方法来构建辅助元素。它可以是一个图表，一个方程(组)，一个方程，一个函数，一个等价的命题等，架起连接条件和结论的桥梁。为了解决这个问题，这种解决问题的数学方法，我们称之为构造方法。运用结构方法解决问题可以使代数，三角形，几何等数学知识相互渗透，有助于解决问题。

　　数学经常遇到的问题解答

　　1、要提高数学成绩首先要做什么?

　　这一点，是很多学生所关注的，要提高数学成绩，首先就应该从基础知识学起。不少同学觉得基础知识过于简单，看两遍基本上就都会了。这种“自我感觉良好”其实是一种错觉，而真正考试时又觉得无从下手，这还是基础不牢的表现，因此要提高数学成绩先要把基础夯实。

　　2、基础不好怎么学好数学?

　　对于基础差的同学来说，课本是就是学好数学的秘籍，把课本上的.定义、公式、定理全部弄懂，力争在理解的基础上全部背熟，每一道例题、每一道课后题都要掌握。我们知道只有把公式、定理烂熟于心，才能举一反三、活学活用，把课本的知识学透有两个好处，第一，强化基础;第二，提高得分能力。

　　3、是否要采用题海战术?

　　方法君曾不止一次提到了“题海战术”，题海战术究竟可不可取呢?“题海战术”其实也是一种学习方法，但很多学生只知道做题，不懂得总结，体现不出任何的学习效果。因此在做题后要总结至关重要，只有认真总结才能不断积累做题经验，这样才能取得理想成绩。

　　4、做题总是粗心怎么办?

　　很多学生成绩不好，会说自己是因为粗心导致的，其实“粗心”只是借口，真正的原因就是题做得少、基础知识不牢、没有清晰的解题思路、计算能力不强。因此在平时的学习中，一定要注重熟练度和精准度的练习。如果总是给自己找“粗心”的借口，也就变相否定了自己的学习弱点，所以，要告诉自己，高中数学没有“粗心”只有“不用心”。

　　为什么要学习数学

　　作为一门普及度极广的学科，数学在人类文明的发展史上一直占据着重要的地位。虽然很多人可能会对数学产生排斥，认为它枯燥无味，但事实上，数学是所有学科的基石之一，对我们日常生活以及未来的职业发展有着重大影响。下面我将详细阐述学习数学的重要性。

　　首先，数学可以帮助我们提高逻辑思维能力。数学的学科性质使我们在学习的过程中时时刻刻面临着思考、推理、证明等诸多问题，而这些问题正是锻炼我们逻辑思维的好机会。通过长期的学习和练习，我们的思维能力得到提升，可以更加清晰地分析问题，更快速地找到正确的答案。这对我们在工作和生活中都非常有帮助，尤其是在解决复杂问题时更能得心应手。

　　其次，数学在现代科技中起着至关重要的作用。在计算机科学、物理学、经济学、工程学等领域，数学可以帮助我们建立模型、分析数据、预测趋势，并且可以在实际应用中优化和改进。例如，在人工智能领域，深度学习技术所涉及的数学概念包括线性代数、微积分和概率论等，如果没有深厚的数学基础，很难理解和应用这些技术。同时，在工程学领域，许多机械、电子、化工等产品的设计和制造过程，也需要运用到数学知识，因此学习数学可以使我们更好地参与到现代科技的发展中。

　　除此之外，数学也是一种普遍使用的语言，许多学科和领域都使用数学语言进行表达和交流。例如，在自然科学领域，生物学、化学、物理学等学科都使用数学语言来描述自然世界的规律和现象。在社会科学和商科领域，经济学和金融学运用的数学概念，如微积分、线性代数和统计学等，使得我们能够更好地理解经济和财务数据，并进行决策。因此，学习数学可以让我们更好地理解、沟通和交流各个领域的知识。

　　最后，学习数学也可以为我们的职业发展带来广泛的机遇和发展空间。在许多领域，数学专业的毕业生都有很广泛的就业机会，如金融界、数据科学、研究机构、教育等。数学专业的人才，不只会提供理论支持，同时也能够解决现实中具体的问题，使其在各自领域脱颖而出。

函数知识点总结14

　　f(x2)，那么那么y=f(x)在区间D上是减函数，D是函数y=f(x)的单调递减区间。

　　⑴函数区间单调性的判断思路

　　ⅰ在给出区间内任取x1、x2，则x1、x2∈D，且x1

　　ⅱ做差值f(x1)-f(x2)，并进行变形和配方，变为易于判断正负的形式。

　　ⅲ判断变形后的表达式f(x1)-f(x2)的符号，指出单调性。

　　⑵复合函数的单调性

　　复合函数y=f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律为“同增异减”;多个函数的复合函数，根据原则“减偶则增，减奇则减”。

　　⑶注意事项

　　函数的单调区间只能是其定义域的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成并集，如果函数在区间A和B上都递增，则表示为f(x)的单调递增区间为A和B，不能表示为A∪B。

　　2、函数的整体性质——奇偶性

　　对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x) =f(-x)，则f(x)就为偶函数;

　　对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(x) =-f(x)，则f(x)就为奇函数。

　　小编推荐：高中数学必考知识点归纳总结

　　⑴奇函数和偶函数的'性质

　　ⅰ无论函数是奇函数还是偶函数，只要函数具有奇偶性，该函数的定义域一定关于原点对称。

　　ⅱ奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。

　　⑵函数奇偶性判断思路

　　ⅰ先确定函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函数。

　　ⅱ确定f(x)和f(-x)的关系：

　　若f(x) -f(-x)=0，或f(x) /f(-x)=1，则函数为偶函数;

　　若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/ f(-x)=-1，则函数为奇函数。

　　3、函数的最值问题

　　⑴对于二次函数，利用配方法，将函数化为y=(x-a)2+b的形式，得出函数的最大值或最小值。

　　⑵对于易于画出函数图像的函数，画出图像，从图像中观察最值。

　　⑶关于二次函数在闭区间的最值问题

　　ⅰ判断二次函数的顶点是否在所求区间内，若在区间内，则接ⅱ，若不在区间内，则接ⅲ。

　　ⅱ若二次函数的顶点在所求区间内，则在二次函数y=ax2+bx+c中，a>0时，顶点为最小值，a0时的最大值或a

　　ⅲ若二次函数的顶点不在所求区间内，则判断函数在该区间的单调性

　　若函数在[a，b]上递增，则最小值为f(a)，最大值为f(b);

　　若函数在[a，b]上递减，则最小值为f(b)，最大值为f(a)。

　　3高一数学基本初等函数1、指数函数：函数y=ax (a>0且a≠1)叫做指数函数

　　a的取值a>1 0

　　注意：⑴由函数的单调性可以看出，在闭区间[a,b]上，指数函数的最值为：

　　a>1时，最小值f(a)，最大值f(b);0

　　⑵对于任意指数函数y=ax (a>0且a≠1)，都有f(1)=a。

　　2、对数函数：函数y=logax(a>0且a≠1))，叫做对数函数

　　a的取值a>1 0

　　3、幂函数：函数y=xa(a∈R)，高中阶段，幂函数只研究第I象限的情况。

　　⑴所有幂函数都在(0，+∞)区间内有定义，而且过定点(1,1)。

　　⑵a>0时，幂函数图像过原点，且在(0，+∞)区间为增函数，a越大，图像坡度越大。

　　⑶a

　　当x从右侧无限接近原点时，图像无限接近y轴正半轴;

　　当y无限接近正无穷时，图像无限接近x轴正半轴。

　　幂函数总图见下页。

　　4、反函数：将原函数y=f(x)的x和y互换即得其反函数x=f-1(y)。

　　反函数图像与原函数图像关于直线y=x对称。

函数知识点总结15

　　k0时，y随x的增大而减小，直线一定过二、四象限（3）若直线l1：yk1xb1l2：yk2xb2

　　当k1k2时，l1//l2；当b1b2b时，l1与l2交于(0，b)点。

　　（4）当b>0时直线与y轴交于原点上方；当b学大教育

　　(1)是中心对称图形，对中称心是原点（2）对称性：是轴直线yx和yx(2)是轴对称图形，对称k0时两支曲线分别位于一、三象限且每一象限内y随x的增大而减小（3）

　　k0时两支曲线分别位于二、四象限且每一象限内y随x的增大而增大（4）过图象上任一点作x轴与y轴的垂线与坐标轴构成的矩形面积为|k|。

　　P（1）应用在u3.应用（2）应用在（3）其它F上SS上t其要点是会进行“数结形合”来解决问题二、二次函数

　　1.定义：应注意的问题

　　（1）在表达式y＝ax2＋bx＋c中（a、b、c为常数且a≠0）（2）二次项指数一定为22.图象：抛物线

　　3.图象的性质：分五种情况可用表格来说明表达式(1)y=ax2顶点坐标对称轴(0，0)最大（小）值y最小=0y最大=0(2)y=ax2+c(0，0)y最小=0y最大=0(3)y=a(x－(h，0)h)2直线x=hy最小=0y最大=0y随x的变化情况随x增大而增大随x增大而减小随x的增大而增大随x的增大而减小随x的增大而增大随x的增大而减小直线x=0(y轴)①若a>0，则x=0时，若a>0，则x>0时，y②若a0，则x=0时，①若a>0，则x>0时，y②若a0，则x=h时，①若a>0，则x>h时，y②若a学大教育

　　表达式h)2+k顶点坐标对称轴直线x=h最大（小）值y最小=ky最大=k(5)y=ax2+b(x+cb2ay随x的变化情况随x的增大而增大随x的增大而减小b2a时，①若a>0，则x>b2a(4)y=a(x－(h，k)①若a>0，则x=h时，①若a>0，则x>h时，y②若a0，则x=4acb24ay最小=4acb24ab时，y随x的增大而增大时，②若a2a2a时，y随x的增大而减小b②若a学大教育

　　一次函数图象和性质

　　【知识梳理】

　　1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0).2.一次函数ykxb的图象是经过（3.一次函数ykxb的图象与性质

　　图像的大致位置经过象限第象限第象限第象限第象限y随x的增大y随x的增大而y随x的增大y随x的增大性质而而而而

　　【思想方法】数形结合

　　k、b的符号k＞0，b＞0k＞0，b＜0k＜0，b＞0k＜0，b＜0b，0）和（0，b）两点的一条直线.k反比例函数图象和性质

　　【知识梳理】

　　1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝或（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．2.反比例函数的图象和性质

　　k的.符号k＞0yoxk＜0yox

　　图像的大致位置经过象限性质

　　第象限在每一象限内,y随x的增大而第象限在每一象限内,y随x的增大而3．k的几何含义：反比例函数y＝的几何意义，即过双曲线y＝

　　k(k≠0)中比例系数kxk(k≠0)上任意一点P作x4