函数知识点总结

时间：2024-06-09 14:39:43 工作总结我要投稿

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函数知识点总结

　　总结是指对某一阶段的工作、学习或思想中的经验或情况加以总结和概括的书面材料，它可以使我们更有效率，为此我们要做好回顾，写好总结。那么总结应该包括什么内容呢？下面是小编帮大家整理的函数知识点总结，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

函数知识点总结

函数知识点总结1

　　一：函数及其表示

　　知识点详解文档包含函数的概念、映射、函数关系的判断原则、函数区间、函数的三要素、函数的定义域、求具体或抽象数值的函数值、求函数值域、函数的表示方法等

　　1. 函数与映射的区别：

　　2. 求函数定义域

　　常见的用解析式表示的函数f(x)的定义域可以归纳如下：

　　①当f(x)为整式时，函数的定义域为R.

　　②当f(x)为分式时，函数的定义域为使分式分母不为零的实数集合。

　　③当f(x)为偶次根式时，函数的定义域是使被开方数不小于0的实数集合。

　　④当f(x)为对数式时，函数的定义域是使真数为正、底数为正且不为1的实数集合。

　　⑤如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的`实数集合，即求各部分有意义的实数集合的交集。

　　⑥复合函数的定义域是复合的各基本的函数定义域的交集。

　　⑦对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域除上述外，还要受实际问题的制约。

　　3. 求函数值域

　　(1)、观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域;

　　(2)、配方法;如果一个函数是二次函数或者经过换元可以写成二次函数的形式，那么将这个函数的右边配方，通过自变量的范围可以求出该函数的值域;

　　(3)、判别式法：

　　(4)、数形结合法;通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域;

　　(5)、换元法;以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域;

　　(6)、利用函数的单调性;如果函数在给出的定义域区间上是严格单调的，那么就可以利用端点的函数值来求出值域;

　　(7)、利用基本不等式：对于一些特殊的分式函数、高于二次的函数可以利用重要不等式求出函数的值域;

　　(8)、最值法：对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a).f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域;

　　(9)、反函数法：如果函数在其定义域内存在反函数，那么求函数的值域可以转化为求反函数的定义域。

函数知识点总结2

　　基本概念

　　1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。

　　2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。

　　*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。（x的取值范围）一次函数

　　1.．自变量x和因变量y有如下关系：

　　y=kx+b（k为任意不为零实数，b为任意实数）则此时称y是x的一次函数。特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx（k为任意不为零实数）

　　定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际有意义。2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。一次函数性质：

　　1在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

　　2一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。

　　特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。4、特殊位置关系

　　当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等

　　当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

　　应用

　　一次函数y=kx+b的性质是：（1）当k>0时，y随x的增大而增大；（2）当ky2，则x1与x2的大小关系是（）

　　A.x1>x2B.x10，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。

　　判断函数图象的位置例3.一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

　　解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k

　　（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。5、函数的图像

　　一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

　　6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。7、描点法画函数图形的一般步骤

　　第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；

　　第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的`顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。8、函数的表示方法

　　列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。

　　解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。

　　图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。9、正比例函数及性质

　　一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx(k不为零)①k不为零②x指数为1③b取零解析式：y=kx（k是常数，k≠0）必过点：（0，0）、（1，k）

　　走向：k>0时，图像经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；k0时，向上平移；当b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，y随x的增大而增大；k0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b

　　.函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）

　　将直线y＝3x向下平移5个单位，得到直线；将直线y＝-x-5向上平移5个单位，得到直线.若直线yxa和直线yxb的交点坐标为(m,8),则ab____________.

　　已知函数y＝3x+1，当自变量增加m时，相应的函数值增加（）Ａ．3m+1Ｂ．3mＣ．mＤ．3m－111、一次函数y=kx＋b的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），坐标或纵坐标为0的点.

　　b>0经过第一、二、三象限b0图象从左到右上升，y随x的增大而增大经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限k0时，向上平移；当b

　　（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b①

　　和y2=kx2+b②

　　（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。（4）最后得到一次函数的表达式。15、一元一次方程与一次函数的关系

　　任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.

函数知识点总结3

　　倍角公式

　　二倍角公式

　　正弦形式：sin2α=2sinαcosα

　　正切形式：tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))

　　余弦形式：cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

　　三倍角公式

　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

　　tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)

　　四倍角公式

　　sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))

　　cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)

　　tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)

　　半角公式

　　正弦

　　sin(A/2)=√((1-cosA)/2)

　　sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

　　余弦

　　cos(A/2)=√((1+cosA)/2)

　　cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

　　正切

　　tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))

　　tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

　　积化和差

　　sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2

　　cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

　　cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2

　　sina*sinb=[cos(a-b)-cos(a+b)]/2

　　和差化积

　　sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

　　sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]

　　cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]

　　cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]

　　诱导公式

　　任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

　　sin(-α)=-sinα

　　cos(-α)=cosα

　　tan(-α)=-tanα

　　cot(-α)=-cotα

　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π+α)=-sinα

　　cos(π+α)=-cosα

　　tan(π+α)=tanα

　　cot(π+α)=cotα

　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π-α)=sinα

　　cos(π-α)=-cosα

　　tan(π-α)=-tanα

　　cot(π-α)=-cotα

　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　　sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

　　cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

　　tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

　　cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(2π-α)=-sinα

　　cos(2π-α)=cosα

　　tan(2π-α)=-tanα

　　cot(2π-α)=-cotα

　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π/2+α)=cosα

　　cos(π/2+α)=-sinα

　　tan(π/2+α)=-cotα

　　cot(π/2+α)=-tanα

　　sin(π/2-α)=cosα

　　cos(π/2-α)=sinα

　　tan(π/2-α)=cotα

　　cot(π/2-α)=tanα

　　sin(3π/2+α)=-cosα

　　cos(3π/2+α)=sinα

　　tan(3π/2+α)=-cotα

　　cot(3π/2+α)=-tanα

　　sin(3π/2-α)=-cosα

　　cos(3π/2-α)=-sinα

　　tan(3π/2-α)=cotα

　　cot(3π/2-α)=tanα

　　(以上k∈Z)

　　拓展阅读：三角函数常用知识点

　　1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

　　2、在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)

　　3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意锐角的余弦值等于它的.余角的正弦值。

　　4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

　　5、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小。

　　6、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tanα随α的增大而增大，cotα随α的增大而减小。

函数知识点总结4

　　二次函数概念

　　一般地，把形如y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0)的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。

　　注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。

　　二次函数公式大全

　　二次函数

　　I.定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

　　则称y为x的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　II.二次函数的三种表达式

　　一般式：y=ax2;+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)

　　顶点式：y=a(x-h)2;+k [抛物线的顶点P(h，k)]

　　交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线]

　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

　　h=-b/2a k=(4ac-b2;)/4a x1,x2=(-b±√b2;-4ac)/2a

　　III.二次函数的图象

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x??的图象，

　　可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。

　　IV.抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

　　x = -b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的.对称轴是y轴(即直线x=0)

　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为

　　P [ -b/2a ，(4ac-b2;)/4a ]。

　　当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;

　　当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于(0，c)

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　Δ= b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　Δ= b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。

　　V.二次函数与一元二次方程

　　特别地，二次函数(以下称函数)y=ax2;+bx+c，

　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，

　　即ax2;+bx+c=0

　　此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。

　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

函数知识点总结5

　　课题

　　3.5正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数

　　教学目标

　　1、掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质2、会用待定系数法确定函数的解析式

　　教学重点

　　掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质

　　教学难点

　　掌握正（反）比例函数、一次函数和二次函数的概念及其图形和性质

　　教学方法

　　讲练结合法

　　教学过程

　　（I）知识要点（见下表：）

　　第三章第29页函数名称解析式图像正比例函数ykx（k0）0x反比例函数一次函数ykxb（k0）0x二次函数yax2bxc（a0）y0xy0xky（k0）xyxy0xyy0xy0xyk0k0k0k0k0k0a0a0图像过点（0，0）及（1，k）的直线双曲线，x轴、y轴是它的渐近线与直线ykx平行且过点（0，b）的'直线抛物线定义域RxxR且xoyyR且yoRR4acb2a0时，y,4aR值域R4acb2a0时，y,4aba0时，在－,上为增2a函数，在,－单调性k0时，在,0，k0时为增函数0,上为减函数k0时，为增函数b上为减函数2ak0时为减函数k0时，在,0，k0时，为减函数0,上为增函数ba0时，在－,上为减2a函数，在,－b上为增函数2a奇偶性奇函数奇函数b=0时奇函数b=0时偶函数a0且x－ymin最值无无无b时，2a24acb4ab时，2a24acb4aa0且x－ymax

　　第三章第30页b24acb2注：二次函数yaxbxca(x（a0）)a(xm)(xn)2a4abb4acb2对称轴x，顶点(，)

　　2a2a4a2抛物线与x轴交点坐标(m，0)，(n，0)（II）例题讲解

　　例1、求满足下列条件的二次函数的解析式：（1）抛物线过点A（1，1），B（2，2），C（4，2）（2）抛物线的顶点为P（1，5）且过点Q（3，3）

　　（3）抛物线对称轴是x2，它在x轴上截出的线段AB长为2且抛物线过点（1，7）。2，

　　解：（1）设yax2bxc(a0)，将A、B、C三点坐标分别代入，可得方程组为

　　abc1a1解得b4yx24x24a2bc216a4bc2c2（2）设二次函数为ya(x1)25，将Q点坐标代入，即a(31)253，得

　　a2，故y2(x1)252x24x3

　　（3）∵抛物线对称轴为x2；

　　∴抛物线与x轴的两个交点A、B应关于x2对称；∴由题设条件可得两个交点坐标分别为A(2∴可设函数解析式为：ya(x2代入方程可得a1

　　∴所求二次函数为yx24x2，

　　2，0)、B(222，0)

　　2)(x22)a(x2)22a，将（1，7）

　　5)，例2：二次函数的图像过点（0，8），(1，（4，0）

　　（1）求函数图像的顶点坐标、对称轴、最值及单调区间（2）当x取何值时，①y≥0，②y（2）由y0可得x22x80，解得x4或x2由y0可得x22x80，解得2x4

　　例3：求函数f(x)x2x1，x[1，1]的最值及相应的x值

　　113x1(x)2，知函数的图像开口向上，对称轴为x

　　224111]上是增函数。∴依题设条件可得f(x)在[1，]上是减函数，在[，22131]时，函数取得最小值，且ymin∴当x[1，24131又∵11

函数知识点总结6

　　一、函数的定义域的常用求法：

　　1、分式的分母不等于零;

　　2、偶次方根的被开方数大于等于零;

　　3、对数的真数大于零;

　　4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1;

　　5、三角函数正切函数y=tanx中x≠kπ+π/2;

　　6、如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

　　二、函数的解析式的常用求法：

　　1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法

　　三、函数的值域的常用求法：

　　1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、直接法

　　四、函数的最值的常用求法：

　　1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法

　　五、函数单调性的常用结论：

　　1、若f(x),g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)+g(x)在这个区间上也为增(减)函数

　　2、若f(x)为增(减)函数，则-f(x)为减(增)函数

　　3、若f(x)与g(x)的单调性相同，则f[g(x)]是增函数;若f(x)与g(x)的单调性不同，则f[g(x)]是减函数。

　　4、奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的`单调性相反。

　　5、常用函数的单调性解答：比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。

　　六、函数奇偶性的常用结论：

　　1、如果一个奇函数在x=0处有定义，则f(0)=0，如果一个函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(x)=0(反之不成立)

　　2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。

　　3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。

　　4、两个函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数，只要其中有一个是偶函数，那么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时，该复合函数是奇函数。

　　5、若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示为f(x)=1/2[f(x)+f(-x)]+1/2[f(x)+f(-x)]，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和。

函数知识点总结7

　　1．常量和变量

　　在某变化过程中可以取不同数值的量，叫做变量．在某变化过程中保持同一数值的量或数，叫常量或常数．

　　2．函数

　　设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某一范围的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数．

　　3．自变量的取值范围

　　(1)整式：自变量取一切实数．(2)分式：分母不为零．

　　(3)偶次方根：被开方数为非负数．

　　(4)零指数与负整数指数幂：底数不为零．

　　4．函数值

　　对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x＝a时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做x＝a时的函数值．

　　5．函数的表示法

　　(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．

　　6．函数的图象

　　把自变量x的一个值和函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，可以在平面直角坐标系内描出一个点，所有这些点的集合，叫做这个函数的图象．由函数解析式画函数图象的步骤：

　　(1)写出函数解析式及自变量的取值范围；

　　(2)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；

　　(3)描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；

　　(4)连线：用平滑曲线，按照自变量由小到大的顺序，把所描各点连接起来．

　　7．一次函数

　　(1)一次函数

　　如果y＝kx＋b(k、b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数．

　　特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx＋b成为y＝kx(k是常数，k≠0)，这时，y叫做x的.正比例函数．

　　(2)一次函数的图象

　　一次函数y＝kx＋b的图象是一条经过(0，b)点和点的直线．特别地，正比例函数图象是一条经过原点的直线．需要说明的是，在平面直角坐标系中，“直线”并不等价于“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象”，因为还有直线y＝m(此时k＝0)和直线x＝n(此时k不存在)，它们不是一次函数图象．

　　(3)一次函数的性质

　　当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．直线y＝kx＋b与y轴的交点坐标为(0，b)，与x轴的交点坐标为．

　　(4)用函数观点看方程(组)与不等式

　　①任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0(a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)，当y＝0时，求相应的自变量的值，从图象上看，相当于已知直线y＝kx＋b，确定它与x轴交点的横坐标．

　　②二元一次方程组对应两个一次函数，于是也对应两条直线，从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等，以及这两个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标．

　　③任何一元一次不等式都可以转化ax＋b＞0或ax＋b＜0(a、b为常数，a≠0)的形式，解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围．

　　8．反比例函数(1)反比例函数

　　（1）如果(k是常数，k≠0)，那么y叫做x的反比例函数．

　　(2)反比例函数的图象反比例函数的图象是双曲线．

　　(3)反比例函数的性质

　　①当k＞0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内，在各自的象限内，y随x的增大而减小．

　　②当k＜0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内，在各自的象限内，y随x的增大而增大．

　　③反比例函数图象关于直线y＝±x对称，关于原点对称．

　　(4)k的两种求法

　　①若点(x0，y0)在双曲线上，则k＝x0y0．②k的几何意义：

　　若双曲线上任一点A(x，y)，AB⊥x轴于B，则S△AOB

　　(5)正比例函数和反比例函数的交点问题

　　若正比例函数y＝k1x(k1≠0)，反比例函数，则当k1k2＜0时，两函数图象无交点；

　　当k1k2＞0时，两函数图象有两个交点，坐标分别为由此可知，正反比例函数的图象若有交点，两交点一定关于原点对称．

　　1．二次函数

　　如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．

　　几种特殊的二次函数：y＝ax2(a≠0)；y＝ax2＋c(ac≠0)；y＝ax2＋bx(ab≠0)；y＝a(x－h)2(a≠0)．

　　2．二次函数的图象

　　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是对称轴平行于y轴的一条抛物线．由y＝ax2(a≠0)的图象，通过平移可得到y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象．

　　3．二次函数的性质

　　二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质对应在它的图象上，有如下性质：

　　(1)抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是，对称轴是直线，顶点必在对称轴上；

　　(2)若a＞0，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，因此，对于抛物线上的任意一点(x，y)，当x＜时，y随x的增大而减小；当x＞时，y随x的增大而增大；当x＝，y有最小值；若a＜0，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，因此，对于抛物线上的任意一点(x，y)，当x＜，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小；当x＝时，y有最大值；

　　(3)抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴的交点为(0，c)；

　　(4)在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，令y＝0可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的情况：

　　＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，即为此抛物线的顶点；当＝b2－4ac＞0，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个不同的公共点，它们的坐标分别是和，这两点的距离为；当当4．抛物线的平移

　　抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上(下)、向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．平移的方向、距离要根据h、k的值来决定．

函数知识点总结8

　　一次函数的图象与性质的口诀：

　　一次函数是直线，图象经过三象限;

　　正比例函数更简单，经过原点一直线;

　　两个系数k与b，作用之大莫小看，k是斜率定夹角，b与y轴来相见，k为正来右上斜，x增减y增减;

　　k为负来左下展，变化规律正相反;

　　k的绝对值越大，线离横轴就越远。

　　拓展阅读：一次函数的解题方法

　　理解一次函数和其它知识的联系

　　一次函数和代数式以及方程有着密不可分的联系。如一次函数和正比例函数仍然是函数，同时，等号的两边又都是代数式。需要注意的是，与一般代数式有很大区别。首先，一次函数和正比例函数都只能存在两个变量，而代数式可以是多个变量;其次，一次函数中的变量指数只能是1，而代数式中变量指数还可以是1以外的数。另外，一次函数解析式也可以理解为二元一次方程。

　　掌握一次函数的解析式的特征

　　一次函数解析式的结构特征：kx+b是关于x的一次二项式，其中常数b可以是任意实数，一次项系数k必须是非零数，k≠0，因为当k = 0时，y = b(b是常数)，由于没有一次项，这样的函数不是一次函数;而当b = 0，k≠0，y = kx既是正比例函数，也是一次函数。

　　应用一次函数解决实际问题

　　1、分清哪些是已知量，哪些是未知量，尤其要弄清哪两种量是相关联的量，且其中一种量因另一种量的变化而变化;

　　2、找出具有相关联的两种量的等量关系之后，明确哪种量是另一种量的函数;

　　3、在实际问题中，一般存在着三种量，如距离、时间、速度等等，在这三种量中，当且仅当其中一种量时间(或速度)不变时，距离与速度(或时间)才成正比例，也就是说，距离(s)是时间(t)或速度( )的正比例函数;

　　4、求一次函数与正比例函数的关系式，一般采取待定系数法。

　　数形结合

　　方程，不等式，不等式组，方程组我们都可以用一次函数的观点来理解。一元一次不等式实际上就看两条直线上下方的关系，求出端点后可以很容易把握解集，至于一元一次方程可以把左右两边看为两条直线来认识，直线交点的横坐标就是方程的解，至于二元一次方程组就是对应2条直线，方程组的解就是直线的交点，结合图形可以认识两直线的位置关系也可以把握交点个数。

　　如果一个交点时候两条直线的k不同，如果无穷个交点就是k，b都一样，如果平行无交点就是k相同，b不一样。至于函数平移的问题可以化归为对应点平移。k反正不变然后用待定系数法得到平移后的方程。这就是化一般为特殊的解题方法。

　　数学解题方法分别有哪些

　　1、配方法

　　所谓的公式是使用变换解析方程的同构方法，并将其中的一些分配给一个或多个多项式正整数幂的和形式。通过配方解决数学问题的公式。其中，用的最多的是配成完全平方式。匹配方法是数学中不断变形的重要方法，其应用非常广泛，在分解，简化根，它通常用于求解方程，证明方程和不等式，找到函数的极值和解析表达式。

　　2、因式分解法

　　因式分解是将多项式转换为几个积分产品的乘积。分解是恒定变形的基础。除了引入中学教科书中介绍的公因子法，公式法，群体分解法，交叉乘法法等外，还有很多方法可以进行因式分解。还有一些项目，如拆除物品的使用，根分解，替换，未确定的系数等等。

　　3、换元法

　　替代方法是数学中一个非常重要和广泛使用的解决问题的方法。我们通常称未知或变元。用新的参数替换原始公式的一部分或重新构建原始公式可以更简单，更容易解决。

　　4、判别式法与韦达定理

　　一元二次方程 ax2+ bx+ c=0( a、 b、 c属于 R， a≠0)根的判别， = b2-4 ac，不仅用来确定根的性质，还作为一个问题解决方法，代数变形，求解方程(组)，求解不等式，研究函数，甚至几何以及三角函数都有非常广泛的应用。

　　韦达定理除了知道二次方程的根外，还找到另一根;考虑到两个数的和和乘积的简单应用并寻找这两个数，也可以找到根的对称函数并量化二次方程根的符号。求解对称方程并解决一些与二次曲线有关的问题等，具有非常广泛的应用。

　　5、待定系数法

　　在解决数学问题时，如果我们首先判断我们所寻找的结果具有一定的形式，其中包含某些未决的系数，然后根据问题的条件列出未确定系数的方程，最后找到未确定系数的'值或这些待定系数之间的关系。为了解决数学问题，这种问题解决方法被称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

　　6、构造法

　　在解决问题时，我们通常通过分析条件和结论来使用这些方法来构建辅助元素。它可以是一个图表，一个方程(组)，一个方程，一个函数，一个等价的命题等，架起连接条件和结论的桥梁。为了解决这个问题，这种解决问题的数学方法，我们称之为构造方法。运用结构方法解决问题可以使代数，三角形，几何等数学知识相互渗透，有助于解决问题。

　　数学经常遇到的问题解答

　　1、要提高数学成绩首先要做什么?

　　这一点，是很多学生所关注的，要提高数学成绩，首先就应该从基础知识学起。不少同学觉得基础知识过于简单，看两遍基本上就都会了。这种“自我感觉良好”其实是一种错觉，而真正考试时又觉得无从下手，这还是基础不牢的表现，因此要提高数学成绩先要把基础夯实。

　　2、基础不好怎么学好数学?

　　对于基础差的同学来说，课本是就是学好数学的秘籍，把课本上的定义、公式、定理全部弄懂，力争在理解的基础上全部背熟，每一道例题、每一道课后题都要掌握。我们知道只有把公式、定理烂熟于心，才能举一反三、活学活用，把课本的知识学透有两个好处，第一，强化基础;第二，提高得分能力。

　　3、是否要采用题海战术?

　　方法君曾不止一次提到了“题海战术”，题海战术究竟可不可取呢?“题海战术”其实也是一种学习方法，但很多学生只知道做题，不懂得总结，体现不出任何的学习效果。因此在做题后要总结至关重要，只有认真总结才能不断积累做题经验，这样才能取得理想成绩。

　　4、做题总是粗心怎么办?

　　很多学生成绩不好，会说自己是因为粗心导致的，其实“粗心”只是借口，真正的原因就是题做得少、基础知识不牢、没有清晰的解题思路、计算能力不强。因此在平时的学习中，一定要注重熟练度和精准度的练习。如果总是给自己找“粗心”的借口，也就变相否定了自己的学习弱点，所以，要告诉自己，高中数学没有“粗心”只有“不用心”。

　　为什么要学习数学

　　作为一门普及度极广的学科，数学在人类文明的发展史上一直占据着重要的地位。虽然很多人可能会对数学产生排斥，认为它枯燥无味，但事实上，数学是所有学科的基石之一，对我们日常生活以及未来的职业发展有着重大影响。下面我将详细阐述学习数学的重要性。

　　首先，数学可以帮助我们提高逻辑思维能力。数学的学科性质使我们在学习的过程中时时刻刻面临着思考、推理、证明等诸多问题，而这些问题正是锻炼我们逻辑思维的好机会。通过长期的学习和练习，我们的思维能力得到提升，可以更加清晰地分析问题，更快速地找到正确的答案。这对我们在工作和生活中都非常有帮助，尤其是在解决复杂问题时更能得心应手。

　　其次，数学在现代科技中起着至关重要的作用。在计算机科学、物理学、经济学、工程学等领域，数学可以帮助我们建立模型、分析数据、预测趋势，并且可以在实际应用中优化和改进。例如，在人工智能领域，深度学习技术所涉及的数学概念包括线性代数、微积分和概率论等，如果没有深厚的数学基础，很难理解和应用这些技术。同时，在工程学领域，许多机械、电子、化工等产品的设计和制造过程，也需要运用到数学知识，因此学习数学可以使我们更好地参与到现代科技的发展中。

　　除此之外，数学也是一种普遍使用的语言，许多学科和领域都使用数学语言进行表达和交流。例如，在自然科学领域，生物学、化学、物理学等学科都使用数学语言来描述自然世界的规律和现象。在社会科学和商科领域，经济学和金融学运用的数学概念，如微积分、线性代数和统计学等，使得我们能够更好地理解经济和财务数据，并进行决策。因此，学习数学可以让我们更好地理解、沟通和交流各个领域的知识。

　　最后，学习数学也可以为我们的职业发展带来广泛的机遇和发展空间。在许多领域，数学专业的毕业生都有很广泛的就业机会，如金融界、数据科学、研究机构、教育等。数学专业的人才，不只会提供理论支持，同时也能够解决现实中具体的问题，使其在各自领域脱颖而出。

函数知识点总结9

　　第一、求函数定义域题忽视细节函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，考生想要在考场上准确求出定义域，就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域。

　　在求一般函数定义域时，要注意以下几点：分母不为0;偶次被开放式非负;真数大于0以及0的0次幂无意义。函数的定义域是非空的数集，在解答函数定义域类的题时千万别忘了这一点。复合函数要注意外层函数的定义域由内层函数的值域决定。

　　第二、带绝对值的函数单调性判断错误带绝对值的函数实质上就是分段函数，判断分段函数的单调性有两种方法：第一，在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，然后对各个段上的单调区间进行整合;第二，画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质能够进行直观的判断。函数题离不开函数图象，而函数图象反应了函数的所有性质，考生在解答函数题时，要第一时间在脑海中画出函数图象，从图象上分析问题，解决问题。

　　对于函数不同的单调递增(减)区间，千万记住，不要使用并集，指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可。

　　第三、求函数奇偶性的常见错误求函数奇偶性类的题最常见的错误有求错函数定义域或忽视函数定义域，对函数具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等等。判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的`函数。在定义域区间关于原点对称的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断。

　　在用定义进行判断时，要注意自变量在定义域区间内的任意性。

　　第四、抽象函数推理不严谨很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计的，在解答此类问题时，考生可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数。多用特殊赋值法，通过特殊赋可以找到函数的不变性质，这往往是问题的突破口。

　　抽象函数性质的证明属于代数推理，和几何推理证明一样，考生在作答时要注意推理的严谨性。每一步都要有充分的条件，别漏掉条件，更不能臆造条件，推理过程层次分明，还要注意书写规范。

　　第五、函数零点定理使用不当若函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)<0。那么函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0。这个c也可以是方程f(c)=0的根，称之为函数的零点定理，分为“变号零点”和“不变号零点”，而对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点时，考生需格外注意这类问题。

　　第六、混淆两类切线曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只有一条;曲线的过一个点的切线是指过这个点的曲线的所有切线，这个点如果在曲线上当然包括曲线在该点处的切线，曲线的过一个点的切线可能不止一条。

　　因此，考生在求解曲线的切线问题时，首先要区分是什么类型的切线。

　　第七、混淆导数与单调性的关系一个函数在某个区间上是增函数的这类题型，如果考生认为函数的导函数在此区间上恒大于0，很容易就会出错。

　　解答函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意，一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零。

　　第八、导数与极值关系不清考生在使用导数求函数极值类问题时，容易出现的错误就是求出使导函数等于0的点，却没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点，往往就会出错，出错原因就是考生对导数与极值关系没搞清楚。可导函数在一个点处的导函数值为零只是这个函数在此点处取到极值的必要条件，小编在此提醒广大考生，在使用导数求函数极值时，一定要对极值点进行仔细检查。

函数知识点总结10

　　一次函数：一次函数图像与性质是中考必考的内容之一。中考试题中分值约为10分左右题型多样，形式灵活，综合应用性强。甚至有存在探究题目出现。

　　主要考察内容：

　　①会画一次函数的图像，并掌握其性质。

　　②会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。

　　③能用一次函数解决实际问题。

　　④考察一ic函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。

　　突破方法：

　　①正确理解掌握一次函数的概念，图像和性质。

　　②运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。

　　③掌握用待定系数法球一次函数解析式。

　　④做一些综合题的训练，提高分析问题的能力。

　　函数性质：

　　1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k.即：y=kx+b（k，b为常数，k≠0），∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。

　　2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。

　　3当b=0时(即y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

　　4.在两个一次函数表达式中：

　　当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的`同一点（0，b）。若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b(k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数图像性质

　　1、作法与图形：通过如下3个步骤：

　　（1）列表.

　　（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。

　　正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。（3）连线，可以作出一次函数的图象一条直线。因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）.

　　2、性质：

　　（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。

　　（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。

　　3、函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

　　4、k，b与函数图像所在象限：

　　y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)：

　　当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；当k>0,b

函数知识点总结11

　　一、二次函数概念：

　　a0）b，c是常数

　　1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函数，叫做二次函数。这c可以为零．二次函数的定义域是全体实里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，数．

　　2.二次函数yax2bxc的结构特征：

　　⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

　　⑵a，二、二次函数的基本形式

　　1.二次函数基本形式：yax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

　　a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上00，00，性质x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值0．x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值0．

　　2.yax2c的性质：上加下减。

　　a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上c0，c0，性质x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值c．x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值c．

　　3.yaxh的性质：左加右减。

　　2a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上0h，0h，性质xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随X=hx的增大而减小；xh时，y有最小值0．xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随a02向下X=hx的增大而增大；xh时，y有最大值0．

　　4.yaxhk的性质：

　　a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h，kh，kX=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随a0向下X=hx的增大而增大；xh时，y有最大值k．

　　三、二次函数图象的平移

　　1.平移步骤：

　　方法一：

　　⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxhk，确定其顶点坐标h，k；

　　⑵保持抛物线yax2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：

　　向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k

　　画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

　　六、二次函数yax2bxc的性质

　　b4acb2b1.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x，顶点坐标为，．

　　2a4a2a当xbbb时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大；当x时，y有最小2a2a2a4acb2值．

　　4ab4acb2bb2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x，顶点坐标为，时，y随．当x2a4a2a2a4acb2bb．x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小；当x时，y有最大值

　　2a2a4a

　　七、二次函数解析式的表示方法

　　1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；

　　2.顶点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；

　　3.两根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

　　注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

　　八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

　　1.二次项系数a

　　二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，显然a0．

　　⑴当a0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

　　⑵当a0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

　　总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．

　　2.一次项系数b

　　在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的.对称轴．

　　⑴在a0的前提下，当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．2a⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，当b0时，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；2ab0，即抛物线的对称轴就是y轴；2ab0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．2a

　　总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．

　　ab的符号的判定：对称轴xb在y轴左边则ab0，在y轴的右侧则ab0，概括的说就是“左同2a右异”总结：

　　3.常数项c

　　⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

　　⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；

　　⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

　　b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．总之，只要a，二次函数解析式的确定：

　　根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：

　　1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

　　2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

　　3.已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；

　　4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．

　　九、二次函数图象的对称

　　二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达

　　1.关于x轴对称

　　yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

　　yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

　　2.关于y轴对称

　　yax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2bxc；

　　22yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是yaxhk；

　　3.关于原点对称

　　yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bxc；yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是yaxhk；

　　4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）

　　2222b2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbxc；

　　2a22yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是yaxhk．n对称

　　5.关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk关于点m，根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．

　　十、二次函数与一元二次方程：

　　1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：

　　一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc当函数值y0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：

　　①当b24ac0时，图象与x轴交于两点Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次

　　b24ac方程axbxc0a0的两根．这两点间的距离ABx2x1.

　　②当0时，图象与x轴只有一个交点；

　　③当0时，图象与x轴没有交点.

　　1"当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；

　　2"当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．

　　2.抛物线yax2bxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；

　　3.二次函数常用解题方法总结：

　　⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

　　⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

　　⑶根据图象的位置判断二次函数yax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；

　　⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

　　⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bxc(a0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

　　0抛物线与x轴有两个交点0二次三项式的值可正、可零、可负二次三项式的值为非负二次三项式的值恒为正一元二次方程有两个不相等实根一元二次方程有两个相等的实数根一元二次方程无实数根.0抛物线与x轴只有一个交点抛物线与x轴无交点y=2x2y=x2y=3(x+4)2二次函数图像参考：

　　y=3x2y=3(x-2)2y=x22

　　y=2x2y=2(x-4)2y=2(x-4)2-3y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y=-2y=-x2y=-2x2十一、函数的应用

　　刹车距离二次函数应用何时获得最大利润

　　最大面积是多少y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2

函数知识点总结12

　　∴当x1时函数取得最大值，且ymax(1)2(1)13例4、已知函数f(x)x22(a1)x2

　　4]，求实数a的取值(1)若函数f(x)的递减区间是(，4]上是减函数，求实数a的取值范围(2)若函数f(x)在区间(，分析：二次函数的单调区间是由其开口方向及对称轴决定的，要分清函数在区间A上是单调函数及单调区间是A的区别与联系

　　解：（1）f(x)的对称轴是x可得函数图像开口向上

　　2(a1)21a，且二次项系数为1>0

　　1a]∴f(x)的单调减区间为(，∴依题设条件可得1a4，解得a3

　　4]上是减函数(2)∵f(x)在区间(，4]是递减区间(，1a]的子区间∴(，∴1a4，解得a3

　　例5、函数f(x)x2bx2，满足：f(3x)f(3x)

　　（1）求方程f(x)0的两根x1，x2的和（2）比较f(1)、f(1)、f(4)的大小解：由f(3x)f(3x)知函数图像的对称轴为x(3x)(3x)23

　　b3可得b62f(x)x26x2(x3)211

　　而f(x)的图像与x轴交点(x1，0)、(x2，0)关于对称轴x3对称

　　x1x223，可得x1x26

　　第三章第32页由二次项系数为1>0，可知抛物线开口向上又134，132，431

　　∴依二次函数的对称性及单调性可f(4)f(1)f(1)（III）课后作业练习六

　　（Ⅳ）教学后记：

　　第三章第33页

　　扩展阅读：初中数学函数知识点归纳

　　学大教育

　　初中数学函数板块的.知识点总结与归类学习方法

　　初中数学知识大纲中，函数知识占了很大的知识体系比例，学好了函数，掌握了函数的基本性质及其应用，真正精通了函数的每一个模块知识，会做每一类函数题型，就读于中考中数学成功了一大半，数学成绩自然上高峰，同时，函数的思想是学好其他理科类学科的基础。初中数学从性质上分，可以分为：一次函数、反比例函数、二次函数和锐角三角函数，下面介绍各类函数的定义、基本性质、函数图象及函数应用思维方式方法。

　　一、一次函数

　　1.定义：在定义中应注意的问题y＝kx＋b中，k、b为常数，且k≠0，x的指数一定为1。2.图象及其性质（1）形状、直线

函数知识点总结13

　　一次函数

　　一、定义与定义式：

　　自变量x和因变量y有如下关系：

　　y=kx+b

　　则此时称y是x的一次函数。

　　特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。

　　即：y=kx （k为常数，k0）

　　二、一次函数的性质：

　　1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k

　　即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）

　　2、当x=0时，b为函数在y轴上的截距。

　　三、一次函数的图像及性质：

　　1、作法与图形：通过如下3个步骤

　　（1）列表；

　　（2）描点；

　　（3）连线，可以作出一次函数的图像一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点）

　　2、性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b），与x轴总是交于（—b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。

　　3、k，b与函数图像所在象限：

　　当k0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；

　　当k0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。

　　当b0时，直线必通过一、二象限；

　　当b=0时，直线通过原点

　　当b0时，直线必通过三、四象限。

　　特别地，当b=O时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。

　　这时，当k0时，直线只通过一、三象限；当k0时，直线只通过二、四象限。

　　四、确定一次函数的表达式：

　　已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的.表达式。

　　（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。

　　（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b ①和y2=kx2+b ②

　　（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。

　　（4）最后得到一次函数的表达式。

　　五、一次函数在生活中的应用：

　　1、当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。

　　2、当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S—ft。

　　六、常用公式：（不全，希望有人补充）

　　1、求函数图像的k值：（y1—y2）/（x1—x2）

　　2、求与x轴平行线段的中点：|x1—x2|/2

　　3、求与y轴平行线段的中点：|y1—y2|/2

　　4、求任意线段的长：（x1—x2）^2+（y1—y2）^2 （注：根号下（x1—x2）与（y1—y2）的平方和）

　　二次函数

　　I、定义与定义表达式

　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　y=ax^2+bx+c

　　（a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大、）

　　则称y为x的二次函数。

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

　　II、二次函数的三种表达式

　　一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a0）

　　顶点式：y=a（x—h）^2+k [抛物线的顶点P（h，k）]

　　交点式：y=a（x—x）（x—x ） [仅限于与x轴有交点A（x，0）和B（x，0）的抛物线]

　　注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：

　　h=—b/2ak=（4ac—b^2）/4a x，x=（—bb^2—4ac）/2a

　　III、二次函数的图像

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，

　　可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

　　IV、抛物线的性质

　　1、抛物线是轴对称图形。对称轴为直线

　　x= —b/2a。

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

　　2、抛物线有一个顶点P，坐标为

　　P（ —b/2a，（4ac—b^2）/4a ）

　　当—b/2a=0时，P在y轴上；当= b^2—4ac=0时，P在x轴上。

　　3、二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

　　当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。

　　|a|越大，则抛物线的开口越小。

　　4、一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

　　当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；

　　当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。

　　5、常数项c决定抛物线与y轴交点。

　　抛物线与y轴交于（0，c）

　　6、抛物线与x轴交点个数

　　= b^2—4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。

　　= b^2—4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

　　= b^2—4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x= —bb^2—4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）

　　V、二次函数与一元二次方程

　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），

　　即ax^2+bx+c=0

　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。

　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

　　1、二次函数y=ax^2，y=a（x—h）^2，y=a（x—h）^2+k，y=ax^2+bx+c（各式中，a0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

　　解析式顶点坐标对称轴

　　y=ax^2（0，0） x=0

　　y=a（x—h）^2（h，0） x=h

　　y=a（x—h）^2+k（h，k） x=h

　　y=ax^2+bx+c（—b/2a，[4ac—b^2]/4a） x=—b/2a

　　当h0时，y=a（x—h）^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

　　当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到、

　　当h0，k0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x—h）^2+k的图象；

　　当h0，k0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；

　　当h0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；

　　当h0，k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x—h）^2+k的图象；

　　因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c（a0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x—h）^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了、这给画图象提供了方便、

　　2、抛物线y=ax^2+bx+c（a0）的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=—b/2a，顶点坐标是（—b/2a，[4ac—b^2]/4a）、

　　3、抛物线y=ax^2+bx+c（a0），若a0，当x —b/2a时，y随x的增大而减小；当x —b/2a时，y随x的增大而增大、若a0，当x —b/2a时，y随x的增大而增大；当x —b/2a时，y随x的增大而减小、

　　4、抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

　　（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；

　　（2）当△=b^2—4ac0，图象与x轴交于两点A（x，0）和B（x，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax^2+bx+c=

　　（a0）的两根、这两点间的距离AB=|x—x|

　　当△=0、图象与x轴只有一个交点；

　　当△0、图象与x轴没有交点、当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0；当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0、

　　5、抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a0（a0），则当x= —b/2a时，y最小（大）值=（4ac—b^2）/4a、

　　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值、

　　6、用待定系数法求二次函数的解析式

　　（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：

　　y=ax^2+bx+c（a0）、

　　（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a（x—h）^2+k（a0）、

　　（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a（x—x）（x—x）（a0）、

　　7、二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现、

　　反比例函数

　　形如y=k/x（k为常数且k0）的函数，叫做反比例函数。

　　自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。

　　反比例函数图像性质：

　　反比例函数的图像为双曲线。

　　由于反比例函数属于奇函数，有f（—x）=—f（x），图像关于原点对称。

　　另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。

　　如图，上面给出了k分别为正和负（2和—2）时的函数图像。

　　当K0时，反比例函数图像经过一，三象限，是减函数

　　当K0时，反比例函数图像经过二，四象限，是增函数

　　反比例函数图像只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。

　　知识点：

　　1、过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |。

　　2、对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数（即y=k/（xm）m为常数），就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）

函数知识点总结14

　　高一数学第三章函数的应用知识点总结

　　一、方程的根与函数的零点

　　1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

　　2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数

　　yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。

　　即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

　　3、函数零点的求法：

　　1（代数法）求方程f(x)0的实数根；○

　　2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象○

　　联系起来，并利用函数的性质找出零点．

　　零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间〔a,b〕上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。先判定函数单调性，然后证明是否有f（a）f(b)第三章函数的应用习题

　　一、选择题

　　1.下列函数有2个零点的是（）

　　222y3x10y4x5x10yx3x5y4x4x1A、B、C、D、22.用二分法计算3x3x80在x(1,2)内的根的过程中得：f(1)0，f(1.5)0，

　　f(1.25)0，则方程的根落在区间（）

　　A、(1,1.5)B、(1.5,2)C、(1,1.25)D、(1.25,1.5)

　　3.若方程axxa0有两个解，则实数a的取值范围是A、(1,)B、(0,1)C、(0,)D、

　　4.函数f(x)=lnx-2x的零点所在的大致区间是()A.(1,2)B.2,eC.e,3D.e,

　　5.已知方程x3x10仅有一个正零点，则此零点所在的区间是()

　　A．(3,4)B．(2,3)C．(1,2)D．(0,1)

　　6．函数f(x)lnx2x6的零点落在区间()A．（2，2.25）B．（2.25，2.5）C．（2.5，2.75）D．（2.75，3）

　　7.已知函数

　　fx的图象是不间断的，并有如下的对应值表：x1234567fx8735548那么函数在区间（1，6）上的零点至少有（）个A．5B．4C．3D．28．方程2x1x5的解所在的区间是Ａ（０，１）Ｂ（１，２）Ｃ（２，３）Ｄ（３，４）

　　9.方程4x35x60的根所在的区间为A、(3,2)B、(2,1)C、(1,0)D、(0,1)

　　10．已知f(x)2x22x，则在下列区间中，f(x)0有实数解的是（）

　　）

　　（）

　　（(A)（-3，-2）(B)（-1，0）(C)（2，3）(D)（4，5）11．根据表格中的数据，可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为（）

　　xexx+2-10.37101212.72327.394320.095A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)12、方程

　　x12x根的个数为（）

　　A、0B、1C、2D、3二、填空题

　　13.下列函数：1)y=lgx；2)y2;3)y=x2;4)y=|x|－1;其中有2个零点的函数的`序号是。

　　x214.若方程3x2的实根在区间m,n内，且m,nZ,nm1，

　　x则mn.

　　222f(x)(x1)(x2)(x2x3)的零点是15、函数（必须写全所有的零点）。

　　扩展阅读：高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结

　　第三章函数的应用

　　一、方程的根与函数的零点

　　1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。

　　2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数

　　yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。

　　即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点．

　　3、函数零点的求法：

　　1（代数法）求方程f(x)0的实数根；○

　　2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，○

　　并利用函数的性质找出零点．

　　4、基本初等函数的零点：

　　①正比例函数ykx(k0)仅有一个零点。

　　k(k0)没有零点。x③一次函数ykxb(k0)仅有一个零点。

　　②反比例函数y④二次函数yax2bxc(a0)．

　　（1）△＞０，方程ax2bxc0(a0)有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

　　（2）△＝０，方程ax2bxc0(a0)有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

　　（3）△＜０，方程ax2bxc0(a0)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点．

　　⑤指数函数ya(a0,且a1)没有零点。⑥对数函数ylogax(a0,且a1)仅有一个零点1.

　　⑦幂函数yx，当n0时，仅有一个零点0，当n0时，没有零点。

　　5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把fx转化成，这另fx0，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数y1,y2（基本初等函数）个函数图像的交点个数就是函数fx零点的个数。

　　6、选择题判断区间a,b上是否含有零点，只需满足fafb0。Eg：试判断方程xx2x10在区间[0,2]内是否有实数解？并说明理由。

　　42x7、确定零点在某区间a,b个数是唯一的条件是:①fx在区间上连续，且fafb0②在区间a,b上单调。Eg：求函数f(x)2xlg(x1)2的零点个数。

　　8、函数零点的性质：

　　从“数”的角度看：即是使f(x)0的实数；

　　从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；

　　若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相切，则零点x0通常称为不变号零点；若函数f(x)的图象在xx0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点．

　　Eg：一元二次方程根的分布讨论

　　一元二次方程根的分布的基本类型

　　2axbxc0（a0）的两实根为x1，x2，且x1x2.设一元二次方程

　　k为常数，则一元二次方程根的k分布（即x1，x2相对于k的位置）或根在区间上的

　　分布主要有以下基本类型：

　　表一：（两根与0的大小比较）

　　分布情况两个负根即两根都小于0两个正根即两根都大于0一正根一负根即一个根小于0，一个大于0x10,x20x10,x20x10x2a0）大致图象（得出的结论0b02af000b02af00f00

　　大致图象（a0）得出的结论0b02af000b02aaf000b02af000b02aaf00f00（不综讨合论结a论）

　　af00表二：（两根与k的大小比较）

　　分布情况两根都小于k即两根都大于k即一个根小于k，一个大于k即x1k,x2kx1k,x2kx1kx2a0）大致图象（kkk得出的结论0bk2afk00bk2afk0fk0大致图象（a0）得出的结论0bk2afk00bk2aafk00bk2afk00bk2aafk0fk0（不综讨合论结a论）a0）afk0分布情况大致图象（得出的结论表三：（根在区间上的分布）

　　两根都在m,n内两根有且仅有一根在m,n一根在m,n内，另一根在p,q内（有两种情况，只画了一种）内，mnpq0fm0fn0bmn2afmfn0fm0fn0fmfn0fp0fq0fpfq0或

　　大致图象（a0）得出的结论0fm0fn0bmn2a综合结论fmfn0fm0fn0fmfn0fp0fq0fpfq0或fmfn0fpfq0（a不）讨论

　　fmfn0Eg：（1）关于x的方程x22(m3)x2m140有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m的取值范围？

　　（2）关于x的方程x2(m3)x2m140有两实根在[0,4]内，求m的取值范围？

　　2（3）关于x的方程mx2(m3)x2m140有两个实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围？

　　9、二分法的定义

　　对于在区间[a，b]上连续不断，且满足f(a)f(b)0的函数

　　yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，

　　使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

　　10、给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤：（1）确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)0，给定精度；（2）求区间(a，b)的中点x1；（3）计算f(x1)：

　　①若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；

　　②若f(a)f(x1)14、根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型：f(x)kxb(k0);二次函数模型：g(x)ax2bxc(a0);幂函数模型：h(x)axb(a0);